Theorem modqsub12d 10324

Description: Subtraction property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqadd12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqadd12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqadd12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
modqadd12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqadd12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
modqadd12d.egt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
modqadd12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modqadd12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modqsub12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modqsub12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqadd12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2		modqadd12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
3		modqadd12d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
4		qnegcl 9582	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → -𝐶 ∈ ℚ)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℚ)
6		modqadd12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
7		qnegcl 9582	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℚ → -𝐷 ∈ ℚ)
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℚ)
9		modqadd12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
10		modqadd12d.egt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
11		modqadd12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
12		modqadd12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
13	3, 6, 9, 10, 12	modqnegd 10322	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝐶 mod 𝐸) = (-𝐷 mod 𝐸))
14	1, 2, 5, 8, 9, 10, 11, 13	modqadd12d 10323	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + -𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + -𝐷) mod 𝐸))
15		qcn 9580	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	1, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17		qcn 9580	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
18	3, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 8223	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐶) = (𝐴 − 𝐶))
20	19	oveq1d 5865	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + -𝐶) mod 𝐸) = ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸))
21		qcn 9580	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
22	2, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
23		qcn 9580	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
24	6, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
25	22, 24	negsubd 8223	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + -𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
26	25	oveq1d 5865	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + -𝐷) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))
27	14, 20, 26	3eqtr3d 2211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850  ℂcc 7759  0cc0 7761   + caddc 7764   < clt 7941   − cmin 8077  -cneg 8078  ℚcq 9565   mod cmo 10265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-q 9566  df-rp 9598  df-fl 10213  df-mod 10266

This theorem is referenced by:  modqsubmod  10325  modqsubmodmod  10326