Theorem modqsub12d 10394

Description: Subtraction property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqadd12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqadd12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqadd12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
modqadd12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqadd12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
modqadd12d.egt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
modqadd12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modqadd12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modqsub12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modqsub12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqadd12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2		modqadd12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
3		modqadd12d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
4		qnegcl 9649	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → -𝐶 ∈ ℚ)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℚ)
6		modqadd12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
7		qnegcl 9649	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℚ → -𝐷 ∈ ℚ)
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℚ)
9		modqadd12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
10		modqadd12d.egt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
11		modqadd12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
12		modqadd12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
13	3, 6, 9, 10, 12	modqnegd 10392	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝐶 mod 𝐸) = (-𝐷 mod 𝐸))
14	1, 2, 5, 8, 9, 10, 11, 13	modqadd12d 10393	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + -𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + -𝐷) mod 𝐸))
15		qcn 9647	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	1, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17		qcn 9647	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
18	3, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 8287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐶) = (𝐴 − 𝐶))
20	19	oveq1d 5903	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + -𝐶) mod 𝐸) = ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸))
21		qcn 9647	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
22	2, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
23		qcn 9647	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
24	6, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
25	22, 24	negsubd 8287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + -𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
26	25	oveq1d 5903	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + -𝐷) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))
27	14, 20, 26	3eqtr3d 2228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  ℂcc 7822  0cc0 7824   + caddc 7827   < clt 8005   − cmin 8141  -cneg 8142  ℚcq 9632   mod cmo 10335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-q 9633  df-rp 9667  df-fl 10283  df-mod 10336

This theorem is referenced by:  modqsubmod  10395  modqsubmodmod  10396