Theorem modqsub12d 10750

Description: Subtraction property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqadd12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqadd12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqadd12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
modqadd12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqadd12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
modqadd12d.egt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
modqadd12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modqadd12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modqsub12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modqsub12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqadd12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2		modqadd12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
3		modqadd12d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
4		qnegcl 9974	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → -𝐶 ∈ ℚ)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℚ)
6		modqadd12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
7		qnegcl 9974	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℚ → -𝐷 ∈ ℚ)
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℚ)
9		modqadd12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
10		modqadd12d.egt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
11		modqadd12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
12		modqadd12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
13	3, 6, 9, 10, 12	modqnegd 10748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝐶 mod 𝐸) = (-𝐷 mod 𝐸))
14	1, 2, 5, 8, 9, 10, 11, 13	modqadd12d 10749	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + -𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + -𝐷) mod 𝐸))
15		qcn 9972	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	1, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17		qcn 9972	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
18	3, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 8595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐶) = (𝐴 − 𝐶))
20	19	oveq1d 6067	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + -𝐶) mod 𝐸) = ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸))
21		qcn 9972	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
22	2, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
23		qcn 9972	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
24	6, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
25	22, 24	negsubd 8595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + -𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
26	25	oveq1d 6067	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + -𝐷) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))
27	14, 20, 26	3eqtr3d 2275	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132   + caddc 8135   < clt 8313   − cmin 8449  -cneg 8450  ℚcq 9957   mod cmo 10691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-q 9958  df-rp 9993  df-fl 10637  df-mod 10692

This theorem is referenced by:  modqsubmod  10751  modqsubmodmod  10752