Theorem qnegcl 9831

Description: Closure law for the negative of a rational. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qnegcl	|- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )

Proof of Theorem qnegcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9817	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zcn 9451	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> x e. CC )
4		nncn 9118	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. CC )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> y e. CC )
6		nnap0 9139	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y # 0 )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> y # 0 )
8	3, 5, 7	divnegapd 8950	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> -u ( x / y ) = ( -u x / y ) )
9		znegcl 9477	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> -u x e. ZZ )
10		znq 9819	. . . . . 6 |- ( ( -u x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( -u x / y ) e. QQ )
11	9, 10	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( -u x / y ) e. QQ )
12	8, 11	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> -u ( x / y ) e. QQ )
13		negeq 8339	. . . . 5 |- ( A = ( x / y ) -> -u A = -u ( x / y ) )
14	13	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( -u A e. QQ <-> -u ( x / y ) e. QQ ) )
15	12, 14	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> -u A e. QQ ) )
16	15	rexlimivv 2654	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> -u A e. QQ )
17	1, 16	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   -ucneg 8318   # cap 8728   / cdiv 8819   NNcn 9110   ZZcz 9446   QQcq 9814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-z 9447  df-q 9815

This theorem is referenced by:  qsubcl  9833  ceilqval  10528  ceiqcl  10529  ceiqge  10531  ceiqm1l  10533  negqmod0  10553  qnegmod  10591  modqsub12d  10603  qsqeqor  10872  moddvds  12310  pcadd2  12864  lgsdir2lem1  15707  lgsdir2lem4  15710  lgseisenlem1  15749  ex-fl  16089  ex-ceil  16090