ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qnegcl Unicode version

Theorem qnegcl 9435
Description: Closure law for the negative of a rational. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qnegcl  |-  ( A  e.  QQ  ->  -u A  e.  QQ )

Proof of Theorem qnegcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9421 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 zcn 9066 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
32adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
4 nncn 8735 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
54adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
6 nnap0 8756 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y #  0 )
76adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y #  0 )
83, 5, 7divnegapd 8570 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  -> 
-u ( x  / 
y )  =  (
-u x  /  y
) )
9 znegcl 9092 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  ZZ )
10 znq 9423 . . . . . 6  |-  ( (
-u x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u x  /  y )  e.  QQ )
119, 10sylan 281 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u x  / 
y )  e.  QQ )
128, 11eqeltrd 2216 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  -> 
-u ( x  / 
y )  e.  QQ )
13 negeq 7962 . . . . 5  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  -u A  =  -u ( x  / 
y ) )
1413eleq1d 2208 . . . 4  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( -u A  e.  QQ  <->  -u ( x  /  y )  e.  QQ ) )
1512, 14syl5ibrcom 156 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  -u A  e.  QQ ) )
1615rexlimivv 2555 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  -u A  e.  QQ )
171, 16sylbi 120 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  -u A  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   E.wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7625   0cc0 7627   -ucneg 7941   # cap 8350    / cdiv 8439   NNcn 8727   ZZcz 9061   QQcq 9418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-z 9062  df-q 9419
This theorem is referenced by:  qsubcl  9437  ceilqval  10086  ceiqcl  10087  ceiqge  10089  ceiqm1l  10091  negqmod0  10111  qnegmod  10149  modqsub12d  10161  moddvds  11509  ex-fl  12967  ex-ceil  12968
  Copyright terms: Public domain W3C validator