Theorem qnegcl 9668

Description: Closure law for the negative of a rational. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qnegcl	|- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )

Proof of Theorem qnegcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9654	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zcn 9289	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> x e. CC )
4		nncn 8958	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. CC )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> y e. CC )
6		nnap0 8979	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y # 0 )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> y # 0 )
8	3, 5, 7	divnegapd 8791	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> -u ( x / y ) = ( -u x / y ) )
9		znegcl 9315	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> -u x e. ZZ )
10		znq 9656	. . . . . 6 |- ( ( -u x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( -u x / y ) e. QQ )
11	9, 10	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( -u x / y ) e. QQ )
12	8, 11	eqeltrd 2266	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> -u ( x / y ) e. QQ )
13		negeq 8181	. . . . 5 |- ( A = ( x / y ) -> -u A = -u ( x / y ) )
14	13	eleq1d 2258	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( -u A e. QQ <-> -u ( x / y ) e. QQ ) )
15	12, 14	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> -u A e. QQ ) )
16	15	rexlimivv 2613	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> -u A e. QQ )
17	1, 16	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   E.wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   CCcc 7840   0cc0 7842   -ucneg 8160   # cap 8569   / cdiv 8660   NNcn 8950   ZZcz 9284   QQcq 9651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-z 9285  df-q 9652

This theorem is referenced by:  qsubcl  9670  ceilqval  10339  ceiqcl  10340  ceiqge  10342  ceiqm1l  10344  negqmod0  10364  qnegmod  10402  modqsub12d  10414  qsqeqor  10665  moddvds  11841  pcadd2  12376  lgsdir2lem1  14907  lgsdir2lem4  14910  lgseisenlem1  14928  ex-fl  14955  ex-ceil  14956