Theorem qnegcl 9757

Description: Closure law for the negative of a rational. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qnegcl	|- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )

Proof of Theorem qnegcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9743	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zcn 9377	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> x e. CC )
4		nncn 9044	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. CC )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> y e. CC )
6		nnap0 9065	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y # 0 )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> y # 0 )
8	3, 5, 7	divnegapd 8876	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> -u ( x / y ) = ( -u x / y ) )
9		znegcl 9403	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> -u x e. ZZ )
10		znq 9745	. . . . . 6 |- ( ( -u x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( -u x / y ) e. QQ )
11	9, 10	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( -u x / y ) e. QQ )
12	8, 11	eqeltrd 2282	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> -u ( x / y ) e. QQ )
13		negeq 8265	. . . . 5 |- ( A = ( x / y ) -> -u A = -u ( x / y ) )
14	13	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( -u A e. QQ <-> -u ( x / y ) e. QQ ) )
15	12, 14	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> -u A e. QQ ) )
16	15	rexlimivv 2629	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> -u A e. QQ )
17	1, 16	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   -ucneg 8244   # cap 8654   / cdiv 8745   NNcn 9036   ZZcz 9372   QQcq 9740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-z 9373  df-q 9741

This theorem is referenced by:  qsubcl  9759  ceilqval  10451  ceiqcl  10452  ceiqge  10454  ceiqm1l  10456  negqmod0  10476  qnegmod  10514  modqsub12d  10526  qsqeqor  10795  moddvds  12110  pcadd2  12664  lgsdir2lem1  15505  lgsdir2lem4  15508  lgseisenlem1  15547  ex-fl  15665  ex-ceil  15666