Theorem qnegcl 9574

Description: Closure law for the negative of a rational. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qnegcl	|- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )

Proof of Theorem qnegcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9560	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zcn 9196	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> x e. CC )
4		nncn 8865	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. CC )
5	4	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> y e. CC )
6		nnap0 8886	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y # 0 )
7	6	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> y # 0 )
8	3, 5, 7	divnegapd 8699	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> -u ( x / y ) = ( -u x / y ) )
9		znegcl 9222	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> -u x e. ZZ )
10		znq 9562	. . . . . 6 |- ( ( -u x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( -u x / y ) e. QQ )
11	9, 10	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( -u x / y ) e. QQ )
12	8, 11	eqeltrd 2243	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> -u ( x / y ) e. QQ )
13		negeq 8091	. . . . 5 |- ( A = ( x / y ) -> -u A = -u ( x / y ) )
14	13	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( -u A e. QQ <-> -u ( x / y ) e. QQ ) )
15	12, 14	syl5ibrcom 156	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> -u A e. QQ ) )
16	15	rexlimivv 2589	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> -u A e. QQ )
17	1, 16	sylbi 120	1 |- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   -ucneg 8070   # cap 8479   / cdiv 8568   NNcn 8857   ZZcz 9191   QQcq 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-z 9192  df-q 9558

This theorem is referenced by:  qsubcl  9576  ceilqval  10241  ceiqcl  10242  ceiqge  10244  ceiqm1l  10246  negqmod0  10266  qnegmod  10304  modqsub12d  10316  qsqeqor  10565  moddvds  11739  lgsdir2lem1  13569  lgsdir2lem4  13572  ex-fl  13606  ex-ceil  13607