ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgnegneg Unicode version

Theorem mulgnegneg 12878
Description: The inverse of a negative group multiple is the positive group multiple. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnncl.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgneg.i  |-  I  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnegneg  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
I `  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( N  .x.  X
) )

Proof of Theorem mulgnegneg
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mulgnncl.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 mulgneg.i . . . 4  |-  I  =  ( invg `  G )
41, 2, 3mulgneg 12877 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( I `  ( N  .x.  X ) ) )
54fveq2d 5514 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
I `  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( I `  (
I `  ( N  .x.  X ) ) ) )
6 simp1 997 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
71, 2mulgcl 12876 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
81, 3grpinvinv 12813 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  -> 
( I `  (
I `  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( N  .x.  X ) )
96, 7, 8syl2anc 411 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
I `  ( I `  ( N  .x.  X
) ) )  =  ( N  .x.  X
) )
105, 9eqtrd 2210 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
I `  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( N  .x.  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   -ucneg 8106   ZZcz 9229   Basecbs 12432   Grpcgrp 12754   invgcminusg 12755  .gcmg 12859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-2 8954  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-seqfrec 10419  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-minusg 12758  df-mulg 12860
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator