Theorem mulgcl 13725

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnncl.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgcl	|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )

Proof of Theorem mulgcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnncl.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		mulgnncl.t	. 2 |- .x. = (.g ` G )
3		eqid 2231	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		id 19	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Grp )
5		ssidd 3248	. 2 |- ( G e. Grp -> B C_ B )
6	1, 3	grpcl 13590	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
7		eqid 2231	. 2 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
8	1, 7	grpidcl 13611	. 2 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
9		eqid 2231	. 2 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
10	1, 9	grpinvcl 13630	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mulgsubcl 13722	1 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ZZcz 9478   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   0gc0g 13338   Grpcgrp 13582   invgcminusg 13583  ._gcmg 13705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-seqfrec 10709  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-mulg 13706

This theorem is referenced by:  mulgneg  13726  mulgnegneg  13727  mulgcld  13730  mulgaddcomlem  13731  mulgaddcom  13732  mulginvcom  13733  mulgdirlem  13739  mulgdir  13740  mulgass  13745  mulgmodid  13747  mulgsubdir  13748  ghmmulg  13842  mulgass2  14070  mulgghm2  14621