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Description: Express the tangent
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tanval3ap |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ax-icn 7967 |
. . . . . 6
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2 | simpl 109 |
. . . . . 6
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3 | mulcl 7999 |
. . . . . 6
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4 | 1, 2, 3 | sylancr 414 |
. . . . 5
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5 | efcl 11807 |
. . . . 5
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6 | 4, 5 | syl 14 |
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7 | negicn 8220 |
. . . . . 6
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8 | mulcl 7999 |
. . . . . 6
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9 | 7, 2, 8 | sylancr 414 |
. . . . 5
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10 | efcl 11807 |
. . . . 5
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11 | 9, 10 | syl 14 |
. . . 4
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12 | 6, 11 | subcld 8330 |
. . 3
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13 | 6, 11 | addcld 8039 |
. . . 4
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14 | mulcl 7999 |
. . . 4
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15 | 1, 13, 14 | sylancr 414 |
. . 3
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16 | 2z 9345 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | efexp 11825 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | 4, 16, 17 | sylancl 413 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 6 | sqvald 10741 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 18, 19 | eqtrd 2226 |
. . . . . . . . 9
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21 | mulneg1 8414 |
. . . . . . . . . . . . 13
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22 | 1, 2, 21 | sylancr 414 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 22 | fveq2d 5558 |
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24 | 23 | oveq2d 5934 |
. . . . . . . . . 10
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25 | efcan 11819 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 4, 25 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 24, 26 | eqtr2d 2227 |
. . . . . . . . 9
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28 | 20, 27 | oveq12d 5936 |
. . . . . . . 8
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29 | 6, 6, 11 | adddid 8044 |
. . . . . . . 8
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30 | 28, 29 | eqtr4d 2229 |
. . . . . . 7
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31 | 30 | oveq2d 5934 |
. . . . . 6
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32 | 1 | a1i 9 |
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33 | 32, 6, 13 | mul12d 8171 |
. . . . . 6
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34 | 31, 33 | eqtrd 2226 |
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35 | 2cn 9053 |
. . . . . . . . 9
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36 | mulcl 7999 |
. . . . . . . . 9
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37 | 35, 4, 36 | sylancr 414 |
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38 | efcl 11807 |
. . . . . . . 8
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39 | 37, 38 | syl 14 |
. . . . . . 7
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40 | ax-1cn 7965 |
. . . . . . 7
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41 | addcl 7997 |
. . . . . . 7
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42 | 39, 40, 41 | sylancl 413 |
. . . . . 6
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43 | iap0 9205 |
. . . . . . 7
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44 | 43 | a1i 9 |
. . . . . 6
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45 | simpr 110 |
. . . . . 6
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46 | 32, 42, 44, 45 | mulap0d 8677 |
. . . . 5
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47 | 34, 46 | eqbrtrrd 4053 |
. . . 4
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48 | 6, 15, 47 | mulap0bbd 8679 |
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49 | efap0 11820 |
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50 | 4, 49 | syl 14 |
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51 | 12, 15, 6, 48, 50 | divcanap5d 8836 |
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52 | 20, 27 | oveq12d 5936 |
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53 | 6, 6, 11 | subdid 8433 |
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54 | 52, 53 | eqtr4d 2229 |
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55 | 54, 34 | oveq12d 5936 |
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56 | cosval 11846 |
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57 | 56 | adantr 276 |
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58 | 2cnd 9055 |
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59 | 32, 13, 48 | mulap0bbd 8679 |
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60 | 2ap0 9075 |
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61 | 60 | a1i 9 |
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62 | 13, 58, 59, 61 | divap0d 8825 |
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63 | 57, 62 | eqbrtrd 4051 |
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64 | tanval2ap 11856 |
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65 | 63, 64 | syldan 282 |
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66 | 51, 55, 65 | 3eqtr4rd 2237 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-disj 4007 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-irdg 6423 df-frec 6444 df-1o 6469 df-oadd 6473 df-er 6587 df-en 6795 df-dom 6796 df-fin 6797 df-sup 7043 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-ico 9960 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-fac 10797 df-bc 10819 df-ihash 10847 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-clim 11422 df-sumdc 11497 df-ef 11791 df-sin 11793 df-cos 11794 df-tan 11795 |
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