ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divnegap Unicode version

Theorem divnegap 8327
Description: Move negative sign inside of a division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divnegap  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  -u ( A  /  B )  =  ( -u A  /  B ) )

Proof of Theorem divnegap
StepHypRef Expression
1 recclap 8300 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
1  /  B )  e.  CC )
2 mulneg1 8024 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  /  B
)  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  ( 1  /  B
) )  =  -u ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
31, 2sylan2 282 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )  ->  ( -u A  x.  ( 1  /  B
) )  =  -u ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
433impb 1145 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( -u A  x.  ( 1  /  B ) )  =  -u ( A  x.  ( 1  /  B
) ) )
5 negcl 7833 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
6 divrecap 8309 . . 3  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( -u A  /  B )  =  ( -u A  x.  ( 1  /  B
) ) )
75, 6syl3an1 1217 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( -u A  /  B )  =  ( -u A  x.  ( 1  /  B
) ) )
8 divrecap 8309 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
98negeqd 7828 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  -u ( A  /  B )  = 
-u ( A  x.  ( 1  /  B
) ) )
104, 7, 93eqtr4rd 2143 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  -u ( A  /  B )  =  ( -u A  /  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   CCcc 7498   0cc0 7500   1c1 7501    x. cmul 7505   -ucneg 7805   # cap 8209    / cdiv 8293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294
This theorem is referenced by:  divsubdirap  8329  divsubdivap  8349  div2negap  8356  divneg2ap  8357  divnegapd  8424  zeo  9008  efi4p  11222  sinneg  11231  tannegap  11233  cos2bnd  11265
  Copyright terms: Public domain W3C validator