Theorem divnegap 8945

Description: Move negative sign inside of a division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divnegap	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> -u ( A / B ) = ( -u A / B ) )

Proof of Theorem divnegap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclap 8918	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ B # 0 ) -> ( 1 / B ) e. CC )
2		mulneg1 8633	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( 1 / B ) e. CC ) -> ( -u A x. ( 1 / B ) ) = -u ( A x. ( 1 / B ) ) )
3	1, 2	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( -u A x. ( 1 / B ) ) = -u ( A x. ( 1 / B ) ) )
4	3	3impb 1226	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( -u A x. ( 1 / B ) ) = -u ( A x. ( 1 / B ) ) )
5		negcl 8438	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
6		divrecap 8927	. . 3 |- ( ( -u A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( -u A / B ) = ( -u A x. ( 1 / B ) ) )
7	5, 6	syl3an1 1307	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( -u A / B ) = ( -u A x. ( 1 / B ) ) )
8		divrecap 8927	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )
9	8	negeqd 8433	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> -u ( A / B ) = -u ( A x. ( 1 / B ) ) )
10	4, 7, 9	3eqtr4rd 2275	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> -u ( A / B ) = ( -u A / B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   CCcc 8090   0cc0 8092   1c1 8093   x. cmul 8097   -ucneg 8410   # cap 8820   / cdiv 8911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912

This theorem is referenced by:  divsubdirap  8947  divsubdivap  8967  div2negap  8974  divneg2ap  8975  divnegapd  9042  zeo  9646  efi4p  12358  sinneg  12367  tannegap  12369  cos2bnd  12401