Theorem nn0ge0div 8932

Description: Division of a nonnegative integer by a positive number is not negative. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0div	|- ( ( K e. NN0 /\ L e. NN ) -> 0 <_ ( K / L ) )

Proof of Theorem nn0ge0div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 8796	. . 3 |- ( K e. NN0 -> 0 <_ K )
2	1	adantr 271	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ L e. NN ) -> 0 <_ K )
3		elnnz 8858	. . . 4 |- ( L e. NN <-> ( L e. ZZ /\ 0 < L ) )
4		nn0re 8780	. . . . . 6 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
5	4	adantr 271	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L e. ZZ /\ 0 < L ) ) -> K e. RR )
6		zre 8852	. . . . . 6 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
7	6	ad2antrl 475	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L e. ZZ /\ 0 < L ) ) -> L e. RR )
8		simprr 500	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L e. ZZ /\ 0 < L ) ) -> 0 < L )
9	5, 7, 8	3jca 1126	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L e. ZZ /\ 0 < L ) ) -> ( K e. RR /\ L e. RR /\ 0 < L ) )
10	3, 9	sylan2b 282	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ L e. NN ) -> ( K e. RR /\ L e. RR /\ 0 < L ) )
11		ge0div 8429	. . 3 |- ( ( K e. RR /\ L e. RR /\ 0 < L ) -> ( 0 <_ K <-> 0 <_ ( K / L ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ L e. NN ) -> ( 0 <_ K <-> 0 <_ ( K / L ) ) )
13	2, 12	mpbid 146	1 |- ( ( K e. NN0 /\ L e. NN ) -> 0 <_ ( K / L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 927   e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   RRcr 7446   0cc0 7447   < clt 7619   <_ cle 7620   / cdiv 8236   NNcn 8520   NN0cn0 8771   ZZcz 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849

This theorem is referenced by:  fldivnn0  9851  divfl0  9852