Theorem nn0ge0div 9567

Description: Division of a nonnegative integer by a positive number is not negative. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0div	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐾 / 𝐿))

Proof of Theorem nn0ge0div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9427	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐾)
3		elnnz 9489	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
4		nn0re 9411	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6		zre 9483	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrl 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
8		simprr 533	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → 0 < 𝐿)
9	5, 7, 8	3jca 1203	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
10	3, 9	sylan2b 287	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
11		ge0div 9051	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / 𝐿)))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / 𝐿)))
13	2, 12	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐾 / 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  0cc0 8032   < clt 8214   ≤ cle 8215   / cdiv 8852  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  fldivnn0  10556  divfl0  10557