Theorem nn0ge0div 9359

Description: Division of a nonnegative integer by a positive number is not negative. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0div	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐾 / 𝐿))

Proof of Theorem nn0ge0div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9220	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐾)
3		elnnz 9282	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
4		nn0re 9204	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6		zre 9276	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrl 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
8		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → 0 < 𝐿)
9	5, 7, 8	3jca 1179	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
10	3, 9	sylan2b 287	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
11		ge0div 8847	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / 𝐿)))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / 𝐿)))
13	2, 12	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐾 / 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  ℝcr 7829  0cc0 7830   < clt 8011   ≤ cle 8012   / cdiv 8648  ℕcn 8938  ℕ₀cn0 9195  ℤcz 9272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273

This theorem is referenced by:  fldivnn0  10314  divfl0  10315