ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ge0div GIF version

Theorem nn0ge0div 9150
Description: Division of a nonnegative integer by a positive number is not negative. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0div ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐾 / 𝐿))

Proof of Theorem nn0ge0div
StepHypRef Expression
1 nn0ge0 9014 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
21adantr 274 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐾)
3 elnnz 9076 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
4 nn0re 8998 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
54adantr 274 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6 zre 9070 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
76ad2antrl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
8 simprr 521 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → 0 < 𝐿)
95, 7, 83jca 1161 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
103, 9sylan2b 285 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
11 ge0div 8641 . . 3 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / 𝐿)))
1210, 11syl 14 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / 𝐿)))
132, 12mpbid 146 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐾 / 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962  wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cr 7631  0cc0 7632   < clt 7812  cle 7813   / cdiv 8444  cn 8732  0cn0 8989  cz 9066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067
This theorem is referenced by:  fldivnn0  10080  divfl0  10081
  Copyright terms: Public domain W3C validator