Theorem nn0p1elfzo 10525

Description: A nonnegative integer increased by 1 which is less than or equal to another integer is an element of a half-open range of integers. (Contributed by AV, 27-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1elfzo	|- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> K e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem nn0p1elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ltp1le 9642	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K < N <-> ( K + 1 ) <_ N ) )
2	1	biimp3ar 1383	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> K < N )
3		simpl1 1027	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> K e. NN0 )
4		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
5	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K < N ) -> N e. NN0 )
6		nn0ge0 9523	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> 0 <_ K )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ K )
8		0re 8276	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
9		nn0re 9507	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
10		nn0re 9507	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
11		lelttr 8364	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
12	8, 9, 10, 11	mp3an3an 1380	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
13	7, 12	mpand 429	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K < N -> 0 < N ) )
14	13	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K < N ) -> 0 < N )
15		elnnnn0b 9542	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
16	5, 14, 15	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K < N ) -> N e. NN )
17	16	3adantl3 1182	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> N e. NN )
18		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> K < N )
19	3, 17, 18	3jca 1204	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
20	2, 19	mpdan 421	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
21		elfzo0 10524	. 2 |- ( K e. ( 0..^ N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
22	20, 21	sylibr 134	1 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> K e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   RRcr 8128   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   < clt 8310   <_ cle 8311   NNcn 9239   NN0cn0 9498  ..^cfzo 10480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481

This theorem is referenced by:  eupth2lem3fi  16488