Theorem nn0p1elfzo 10425

Description: A nonnegative integer increased by 1 which is less than or equal to another integer is an element of a half-open range of integers. (Contributed by AV, 27-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1elfzo	|- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> K e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem nn0p1elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ltp1le 9545	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K < N <-> ( K + 1 ) <_ N ) )
2	1	biimp3ar 1382	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> K < N )
3		simpl1 1026	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> K e. NN0 )
4		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
5	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K < N ) -> N e. NN0 )
6		nn0ge0 9430	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> 0 <_ K )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ K )
8		0re 8182	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
9		nn0re 9414	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
10		nn0re 9414	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
11		lelttr 8271	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
12	8, 9, 10, 11	mp3an3an 1379	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
13	7, 12	mpand 429	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K < N -> 0 < N ) )
14	13	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K < N ) -> 0 < N )
15		elnnnn0b 9449	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
16	5, 14, 15	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K < N ) -> N e. NN )
17	16	3adantl3 1181	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> N e. NN )
18		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> K < N )
19	3, 17, 18	3jca 1203	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
20	2, 19	mpdan 421	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
21		elfzo0 10424	. 2 |- ( K e. ( 0..^ N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
22	20, 21	sylibr 134	1 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> K e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6021   RRcr 8034   0cc0 8035   1c1 8036   + caddc 8038   < clt 8217   <_ cle 8218   NNcn 9146   NN0cn0 9405  ..^cfzo 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-fz 10247  df-fzo 10381

This theorem is referenced by:  eupth2lem3fi  16354