Theorem nn0p1elfzo 10517

Description: A nonnegative integer increased by 1 which is less than or equal to another integer is an element of a half-open range of integers. (Contributed by AV, 27-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1elfzo	|- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> K e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem nn0p1elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ltp1le 9636	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K < N <-> ( K + 1 ) <_ N ) )
2	1	biimp3ar 1383	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> K < N )
3		simpl1 1027	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> K e. NN0 )
4		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
5	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K < N ) -> N e. NN0 )
6		nn0ge0 9517	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> 0 <_ K )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ K )
8		0re 8270	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
9		nn0re 9501	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
10		nn0re 9501	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
11		lelttr 8358	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
12	8, 9, 10, 11	mp3an3an 1380	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
13	7, 12	mpand 429	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K < N -> 0 < N ) )
14	13	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K < N ) -> 0 < N )
15		elnnnn0b 9536	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
16	5, 14, 15	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K < N ) -> N e. NN )
17	16	3adantl3 1182	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> N e. NN )
18		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> K < N )
19	3, 17, 18	3jca 1204	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
20	2, 19	mpdan 421	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
21		elfzo0 10516	. 2 |- ( K e. ( 0..^ N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
22	20, 21	sylibr 134	1 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> K e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049   RRcr 8122   0cc0 8123   1c1 8124   + caddc 8126   < clt 8304   <_ cle 8305   NNcn 9233   NN0cn0 9492  ..^cfzo 10472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339  df-fzo 10473

This theorem is referenced by:  eupth2lem3fi  16458