Theorem nn0p1elfzo 10577

Description: A nonnegative integer increased by 1 which is less than or equal to another integer is an element of a half-open range of integers. (Contributed by AV, 27-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1elfzo	|- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> K e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem nn0p1elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ltp1le 9690	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K < N <-> ( K + 1 ) <_ N ) )
2	1	biimp3ar 1387	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> K < N )
3		simpl1 1031	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> K e. NN0 )
4		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
5	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K < N ) -> N e. NN0 )
6		nn0ge0 9571	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> 0 <_ K )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ K )
8		0re 8320	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
9		nn0re 9555	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
10		nn0re 9555	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
11		lelttr 8408	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
12	8, 9, 10, 11	mp3an3an 1384	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
13	7, 12	mpand 433	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K < N -> 0 < N ) )
14	13	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K < N ) -> 0 < N )
15		elnnnn0b 9590	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
16	5, 14, 15	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K < N ) -> N e. NN )
17	16	3adantl3 1186	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> N e. NN )
18		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> K < N )
19	3, 17, 18	3jca 1208	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) /\ K < N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
20	2, 19	mpdan 425	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
21		elfzo0 10576	. 2 |- ( K e. ( 0..^ N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
22	20, 21	sylibr 134	1 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K + 1 ) <_ N ) -> K e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   RRcr 8172   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   < clt 8354   <_ cle 8355   NNcn 9287   NN0cn0 9546  ..^cfzo 10532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533

This theorem is referenced by:  eupth2lem3fi  16700