ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprxx GIF version

Theorem nqprxx 7575
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals, expressed with the same variable for the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprxx (𝐴Q → ⟨{𝑥𝑥 <Q 𝐴}, {𝑥𝐴 <Q 𝑥}⟩ ∈ P)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nqprxx
Dummy variables 𝑟 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqprm 7571 . . 3 (𝐴Q → (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
2 ltrelnq 7394 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 4696 . . . . . 6 (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥Q𝐴Q))
43simpld 112 . . . . 5 (𝑥 <Q 𝐴𝑥Q)
54abssi 3245 . . . 4 {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
62brel 4696 . . . . . 6 (𝐴 <Q 𝑥 → (𝐴Q𝑥Q))
76simprd 114 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝑥𝑥Q)
87abssi 3245 . . . 4 {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ⊆ Q
95, 8pm3.2i 272 . . 3 ({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q ∧ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ⊆ Q)
101, 9jctil 312 . 2 (𝐴Q → (({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q ∧ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ⊆ Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
11 nqprrnd 7572 . . 3 (𝐴Q → (∀𝑞Q (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))))
12 nqprdisj 7573 . . 3 (𝐴Q → ∀𝑞Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
13 nqprloc 7574 . . 3 (𝐴Q → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
1411, 12, 133jca 1179 . 2 (𝐴Q → ((∀𝑞Q (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))))
15 elinp 7503 . 2 (⟨{𝑥𝑥 <Q 𝐴}, {𝑥𝐴 <Q 𝑥}⟩ ∈ P ↔ ((({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q ∧ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ⊆ Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))))
1610, 14, 15sylanbrc 417 1 (𝐴Q → ⟨{𝑥𝑥 <Q 𝐴}, {𝑥𝐴 <Q 𝑥}⟩ ∈ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  w3a 980  wcel 2160  {cab 2175  wral 2468  wrex 2469  wss 3144  cop 3610   class class class wbr 4018  Qcnq 7309   <Q cltq 7314  Pcnp 7320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-er 6559  df-ec 6561  df-qs 6565  df-ni 7333  df-pli 7334  df-mi 7335  df-lti 7336  df-plpq 7373  df-mpq 7374  df-enq 7376  df-nqqs 7377  df-plqqs 7378  df-mqqs 7379  df-1nqqs 7380  df-rq 7381  df-ltnqqs 7382  df-inp 7495
This theorem is referenced by:  nqprlu  7576
  Copyright terms: Public domain W3C validator