ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprxx GIF version

Theorem nqprxx 7366
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals, expressed with the same variable for the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprxx (𝐴Q → ⟨{𝑥𝑥 <Q 𝐴}, {𝑥𝐴 <Q 𝑥}⟩ ∈ P)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nqprxx
Dummy variables 𝑟 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqprm 7362 . . 3 (𝐴Q → (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
2 ltrelnq 7185 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 4591 . . . . . 6 (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥Q𝐴Q))
43simpld 111 . . . . 5 (𝑥 <Q 𝐴𝑥Q)
54abssi 3172 . . . 4 {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
62brel 4591 . . . . . 6 (𝐴 <Q 𝑥 → (𝐴Q𝑥Q))
76simprd 113 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝑥𝑥Q)
87abssi 3172 . . . 4 {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ⊆ Q
95, 8pm3.2i 270 . . 3 ({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q ∧ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ⊆ Q)
101, 9jctil 310 . 2 (𝐴Q → (({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q ∧ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ⊆ Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
11 nqprrnd 7363 . . 3 (𝐴Q → (∀𝑞Q (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))))
12 nqprdisj 7364 . . 3 (𝐴Q → ∀𝑞Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
13 nqprloc 7365 . . 3 (𝐴Q → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
1411, 12, 133jca 1161 . 2 (𝐴Q → ((∀𝑞Q (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))))
15 elinp 7294 . 2 (⟨{𝑥𝑥 <Q 𝐴}, {𝑥𝐴 <Q 𝑥}⟩ ∈ P ↔ ((({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q ∧ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ⊆ Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))))
1610, 14, 15sylanbrc 413 1 (𝐴Q → ⟨{𝑥𝑥 <Q 𝐴}, {𝑥𝐴 <Q 𝑥}⟩ ∈ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  w3a 962  wcel 1480  {cab 2125  wral 2416  wrex 2417  wss 3071  cop 3530   class class class wbr 3929  Qcnq 7100   <Q cltq 7105  Pcnp 7111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173  df-inp 7286
This theorem is referenced by:  nqprlu  7367
  Copyright terms: Public domain W3C validator