Theorem pfxccatin12d 11236

Description: The subword of a concatenation of two words within both of the concatenated words. (Contributed by AV, 31-May-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatind.l	|- ( ph -> (♯ ` A ) = L )
swrdccatind.w	|- ( ph -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
pfxccatin12d.m	|- ( ph -> M e. ( 0 ... L ) )
pfxccatin12d.n	|- ( ph -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12d	|- ( ph -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatind.w	. . 3 |- ( ph -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
2		pfxccatin12d.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( 0 ... L ) )
3		pfxccatin12d.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )
4		swrdccatind.l	. . . . . . 7 |- ( ph -> (♯ ` A ) = L )
5	4	oveq2d 5983	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... (♯ ` A ) ) = ( 0 ... L ) )
6	5	eleq2d 2277	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) <-> M e. ( 0 ... L ) ) )
7	4	oveq1d 5982	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) = ( L + (♯ ` B ) ) )
8	4, 7	oveq12d 5985	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) ... ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) = ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )
9	8	eleq2d 2277	. . . . 5 |- ( ph -> ( N e. ( (♯ ` A ) ... ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
10	6, 9	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) /\ N e. ( (♯ ` A ) ... ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) <-> ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
11	2, 3, 10	mpbir2and 947	. . 3 |- ( ph -> ( M e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) /\ N e. ( (♯ ` A ) ... ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) )
12		eqid 2207	. . . 4 |- (♯ ` A ) = (♯ ` A )
13	12	pfxccatin12 11224	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) /\ N e. ( (♯ ` A ) ... ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( ( A substr <. M , (♯ ` A ) >. ) ++ ( B prefix ( N - (♯ ` A ) ) ) ) ) )
14	1, 11, 13	sylc 62	. 2 |- ( ph -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( ( A substr <. M , (♯ ` A ) >. ) ++ ( B prefix ( N - (♯ ` A ) ) ) ) )
15	4	opeq2d 3840	. . . 4 |- ( ph -> <. M , (♯ ` A ) >. = <. M , L >. )
16	15	oveq2d 5983	. . 3 |- ( ph -> ( A substr <. M , (♯ ` A ) >. ) = ( A substr <. M , L >. ) )
17	4	oveq2d 5983	. . . 4 |- ( ph -> ( N - (♯ ` A ) ) = ( N - L ) )
18	17	oveq2d 5983	. . 3 |- ( ph -> ( B prefix ( N - (♯ ` A ) ) ) = ( B prefix ( N - L ) ) )
19	16, 18	oveq12d 5985	. 2 |- ( ph -> ( ( A substr <. M , (♯ ` A ) >. ) ++ ( B prefix ( N - (♯ ` A ) ) ) ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
20	14, 19	eqtrd 2240	1 |- ( ph -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   <.cop 3646   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   0cc0 7960   + caddc 7963   - cmin 8278   ...cfz 10165  ♯chash 10957  Word cword 11031   ++ cconcat 11084   substr csubstr 11136   prefix cpfx 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-ihash 10958  df-word 11032  df-concat 11085  df-substr 11137  df-pfx 11164

This theorem is referenced by: (None)