Theorem pfxccatin12d 11292

Description: The subword of a concatenation of two words within both of the concatenated words. (Contributed by AV, 31-May-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatind.l	|- ( ph -> (♯ ` A ) = L )
swrdccatind.w	|- ( ph -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
pfxccatin12d.m	|- ( ph -> M e. ( 0 ... L ) )
pfxccatin12d.n	|- ( ph -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12d	|- ( ph -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatind.w	. . 3 |- ( ph -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
2		pfxccatin12d.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( 0 ... L ) )
3		pfxccatin12d.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )
4		swrdccatind.l	. . . . . . 7 |- ( ph -> (♯ ` A ) = L )
5	4	oveq2d 6023	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... (♯ ` A ) ) = ( 0 ... L ) )
6	5	eleq2d 2299	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) <-> M e. ( 0 ... L ) ) )
7	4	oveq1d 6022	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) = ( L + (♯ ` B ) ) )
8	4, 7	oveq12d 6025	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) ... ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) = ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )
9	8	eleq2d 2299	. . . . 5 |- ( ph -> ( N e. ( (♯ ` A ) ... ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
10	6, 9	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) /\ N e. ( (♯ ` A ) ... ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) <-> ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
11	2, 3, 10	mpbir2and 950	. . 3 |- ( ph -> ( M e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) /\ N e. ( (♯ ` A ) ... ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) )
12		eqid 2229	. . . 4 |- (♯ ` A ) = (♯ ` A )
13	12	pfxccatin12 11280	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) /\ N e. ( (♯ ` A ) ... ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( ( A substr <. M , (♯ ` A ) >. ) ++ ( B prefix ( N - (♯ ` A ) ) ) ) ) )
14	1, 11, 13	sylc 62	. 2 |- ( ph -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( ( A substr <. M , (♯ ` A ) >. ) ++ ( B prefix ( N - (♯ ` A ) ) ) ) )
15	4	opeq2d 3864	. . . 4 |- ( ph -> <. M , (♯ ` A ) >. = <. M , L >. )
16	15	oveq2d 6023	. . 3 |- ( ph -> ( A substr <. M , (♯ ` A ) >. ) = ( A substr <. M , L >. ) )
17	4	oveq2d 6023	. . . 4 |- ( ph -> ( N - (♯ ` A ) ) = ( N - L ) )
18	17	oveq2d 6023	. . 3 |- ( ph -> ( B prefix ( N - (♯ ` A ) ) ) = ( B prefix ( N - L ) ) )
19	16, 18	oveq12d 6025	. 2 |- ( ph -> ( ( A substr <. M , (♯ ` A ) >. ) ++ ( B prefix ( N - (♯ ` A ) ) ) ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
20	14, 19	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   0cc0 8010   + caddc 8013   - cmin 8328   ...cfz 10216  ♯chash 11009  Word cword 11084   ++ cconcat 11138   substr csubstr 11192   prefix cpfx 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-ihash 11010  df-word 11085  df-concat 11139  df-substr 11193  df-pfx 11220

This theorem is referenced by: (None)