Theorem hashfz 10599

Description: Value of the numeric cardinality of a nonempty integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz	|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A ... B ) ) = ( ( B - A ) + 1 ) )

Proof of Theorem hashfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9355	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. ZZ )
2		eluzelz 9359	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
3		1z 9104	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
4		zsubcl 9119	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 1 - A ) e. ZZ )
5	3, 1, 4	sylancr 411	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( 1 - A ) e. ZZ )
6		fzen 9854	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ ( 1 - A ) e. ZZ ) -> ( A ... B ) ~~ ( ( A + ( 1 - A ) ) ... ( B + ( 1 - A ) ) ) )
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1217	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A ... B ) ~~ ( ( A + ( 1 - A ) ) ... ( B + ( 1 - A ) ) ) )
8	1	zcnd 9198	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. CC )
9		ax-1cn 7737	. . . . . 6 |- 1 e. CC
10		pncan3 7994	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A + ( 1 - A ) ) = 1 )
11	8, 9, 10	sylancl 410	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A + ( 1 - A ) ) = 1 )
12		1cnd 7806	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> 1 e. CC )
13	2	zcnd 9198	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. CC )
14	13, 8	subcld 8097	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B - A ) e. CC )
15	13, 12, 8	addsub12d 8120	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + ( 1 - A ) ) = ( 1 + ( B - A ) ) )
16	12, 14, 15	comraddd 7943	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + ( 1 - A ) ) = ( ( B - A ) + 1 ) )
17	11, 16	oveq12d 5800	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A + ( 1 - A ) ) ... ( B + ( 1 - A ) ) ) = ( 1 ... ( ( B - A ) + 1 ) ) )
18	7, 17	breqtrd 3962	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A ... B ) ~~ ( 1 ... ( ( B - A ) + 1 ) ) )
19	1, 2	fzfigd 10235	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A ... B ) e. Fin )
20		1zzd 9105	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> 1 e. ZZ )
21	2, 1	zsubcld 9202	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B - A ) e. ZZ )
22	21	peano2zd 9200	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( B - A ) + 1 ) e. ZZ )
23	20, 22	fzfigd 10235	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( 1 ... ( ( B - A ) + 1 ) ) e. Fin )
24		hashen 10562	. . . 4 |- ( ( ( A ... B ) e. Fin /\ ( 1 ... ( ( B - A ) + 1 ) ) e. Fin ) -> ( (♯ ` ( A ... B ) ) = (♯ ` ( 1 ... ( ( B - A ) + 1 ) ) ) <-> ( A ... B ) ~~ ( 1 ... ( ( B - A ) + 1 ) ) ) )
25	19, 23, 24	syl2anc 409	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( (♯ ` ( A ... B ) ) = (♯ ` ( 1 ... ( ( B - A ) + 1 ) ) ) <-> ( A ... B ) ~~ ( 1 ... ( ( B - A ) + 1 ) ) ) )
26	18, 25	mpbird 166	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A ... B ) ) = (♯ ` ( 1 ... ( ( B - A ) + 1 ) ) ) )
27		uznn0sub 9381	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B - A ) e. NN0 )
28		peano2nn0 9041	. . 3 |- ( ( B - A ) e. NN0 -> ( ( B - A ) + 1 ) e. NN0 )
29		hashfz1 10561	. . 3 |- ( ( ( B - A ) + 1 ) e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... ( ( B - A ) + 1 ) ) ) = ( ( B - A ) + 1 ) )
30	27, 28, 29	3syl 17	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( 1 ... ( ( B - A ) + 1 ) ) ) = ( ( B - A ) + 1 ) )
31	26, 30	eqtrd 2173	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A ... B ) ) = ( ( B - A ) + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   ~~ cen 6640   Fincfn 6642   CCcc 7642   1c1 7645   + caddc 7647   - cmin 7957   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821  ♯chash 10553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-1o 6321  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-ihash 10554

This theorem is referenced by:  hashfzo  10600  hashfzp1  10602  hashfz0  10603