Theorem prdsplusgcl 14300

Description: Structure product pointwise sums are closed when the factors are monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsplusgcl.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsplusgcl.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsplusgcl.p	|- .+ = ( +g ` Y )
prdsplusgcl.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsplusgcl.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsplusgcl.r	|- ( ph -> R : I --> Mnd )
prdsplusgcl.f	|- ( ph -> F e. B )
prdsplusgcl.g	|- ( ph -> G e. B )

Assertion

Ref	Expression
prdsplusgcl	|- ( ph -> ( F .+ G ) e. B )

Proof of Theorem prdsplusgcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsplusgcl.y	. . 3 |- Y = ( S X_s R )
2		prdsplusgcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` Y )
3		prdsplusgcl.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
4		prdsplusgcl.i	. . 3 |- ( ph -> I e. W )
5		prdsplusgcl.r	. . . 4 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
6	5	ffnd 5537	. . 3 |- ( ph -> R Fn I )
7		prdsplusgcl.f	. . 3 |- ( ph -> F e. B )
8		prdsplusgcl.g	. . 3 |- ( ph -> G e. B )
9		prdsplusgcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` Y )
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	prdsplusgval 14291	. 2 |- ( ph -> ( F .+ G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )
11	5	ffvelcdmda 5846	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( R ` x ) e. Mnd )
12	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> S e. V )
13	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> I e. W )
14	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R Fn I )
15	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> F e. B )
16		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> x e. I )
17	1, 2, 12, 13, 14, 15, 16	prdsbasprj 14290	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` ( R ` x ) ) )
18	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> G e. B )
19	1, 2, 12, 13, 14, 18, 16	prdsbasprj 14290	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` ( R ` x ) ) )
20		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( Base ` ( R ` x ) ) = ( Base ` ( R ` x ) )
21		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( +g ` ( R ` x ) ) = ( +g ` ( R ` x ) )
22	20, 21	mndcl 13796	. . . . 5 |- ( ( ( R ` x ) e. Mnd /\ ( F ` x ) e. ( Base ` ( R ` x ) ) /\ ( G ` x ) e. ( Base ` ( R ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) e. ( Base ` ( R ` x ) ) )
23	11, 17, 19, 22	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) e. ( Base ` ( R ` x ) ) )
24	23	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ph -> A. x e. I ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) e. ( Base ` ( R ` x ) ) )
25	1, 2, 3, 4, 6	prdsbasmpt 14288	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) e. B <-> A. x e. I ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) e. ( Base ` ( R ` x ) ) ) )
26	24, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) e. B )
27	10, 26	eqeltrd 2315	1 |- ( ph -> ( F .+ G ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   |-> cmpt 4193   Fn wfn 5375   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13411   +g cplusg 13491   Mndcmnd 13789   X__scprds 14277

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-ixp 6986  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-fz 10430  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-tset 13510  df-ple 13511  df-ds 13513  df-hom 13515  df-cco 13516  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13674  df-pt 13675  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-prds 14278

This theorem is used by:  prdsmndd  14302