Theorem prdsmndd 14174

Description: The product of a family of monoids is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmndd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsmndd.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsmndd.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsmndd.r	|- ( ph -> R : I --> Mnd )

Assertion

Ref	Expression
prdsmndd	|- ( ph -> Y e. Mnd )

Proof of Theorem prdsmndd

Dummy variables a b y c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2239	. 2 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) )
2		eqidd 2239	. 2 |- ( ph -> ( +g ` Y ) = ( +g ` Y ) )
3		prdsmndd.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s R )
4		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
5		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
6		prdsmndd.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. V )
7	6	elexd 2835	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> S e. _V )
9		prdsmndd.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. W )
10	9	elexd 2835	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> I e. _V )
12		prdsmndd.r	. . . . 5 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
13	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> R : I --> Mnd )
14		simprl 535	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> a e. ( Base ` Y ) )
15		simprr 537	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> b e. ( Base ` Y ) )
16	3, 4, 5, 8, 11, 13, 14, 15	prdsplusgcl 14172	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( +g ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
17	16	3impb 1230	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) -> ( a ( +g ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
18	12	ffvelcdmda 5837	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
19	18	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
20	7	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> S e. _V )
21	10	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> I e. _V )
22	12	ffnd 5532	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R Fn I )
23	22	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> R Fn I )
24		simplr1 1070	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> a e. ( Base ` Y ) )
25		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> y e. I )
26	3, 4, 20, 21, 23, 24, 25	prdsbasprj 14162	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( a ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
27		simplr2 1071	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> b e. ( Base ` Y ) )
28	3, 4, 20, 21, 23, 27, 25	prdsbasprj 14162	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( b ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
29		simplr3 1072	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> c e. ( Base ` Y ) )
30	3, 4, 20, 21, 23, 29, 25	prdsbasprj 14162	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( c ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
31		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` y ) ) = ( Base ` ( R ` y ) )
32		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( +g ` ( R ` y ) ) = ( +g ` ( R ` y ) )
33	31, 32	mndass 13717	. . . . . 6 |- ( ( ( R ` y ) e. Mnd /\ ( ( a ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) /\ ( b ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) /\ ( c ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) -> ( ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
34	19, 26, 28, 30, 33	syl13anc 1280	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
35	3, 4, 20, 21, 23, 24, 27, 5, 25	prdsplusgfval 14164	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) )
36	35	oveq1d 6093	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
37	3, 4, 20, 21, 23, 27, 29, 5, 25	prdsplusgfval 14164	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) = ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
38	37	oveq2d 6094	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
39	34, 36, 38	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) )
40	39	mpteq2dva 4219	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( y e. I |-> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
41	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> S e. _V )
42	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> I e. _V )
43	22	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> R Fn I )
44	16	3adantr3 1189	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( +g ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
45		simpr3 1036	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> c e. ( Base ` Y ) )
46	3, 4, 41, 42, 43, 44, 45, 5	prdsplusgval 14163	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( +g ` Y ) b ) ( +g ` Y ) c ) = ( y e. I |-> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
47		simpr1 1034	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> a e. ( Base ` Y ) )
48	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> R : I --> Mnd )
49		simpr2 1035	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> b e. ( Base ` Y ) )
50	3, 4, 5, 41, 42, 48, 49, 45	prdsplusgcl 14172	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( b ( +g ` Y ) c ) e. ( Base ` Y ) )
51	3, 4, 41, 42, 43, 47, 50, 5	prdsplusgval 14163	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( +g ` Y ) ( b ( +g ` Y ) c ) ) = ( y e. I |-> ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
52	40, 46, 51	3eqtr4d 2281	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( +g ` Y ) b ) ( +g ` Y ) c ) = ( a ( +g ` Y ) ( b ( +g ` Y ) c ) ) )
53		eqid 2238	. . . 4 |- ( 0g o. R ) = ( 0g o. R )
54	3, 4, 5, 7, 10, 12, 53	prdsidlem 14173	. . 3 |- ( ph -> ( ( 0g o. R ) e. ( Base ` Y ) /\ A. a e. ( Base ` Y ) ( ( ( 0g o. R ) ( +g ` Y ) a ) = a /\ ( a ( +g ` Y ) ( 0g o. R ) ) = a ) ) )
55	54	simpld 112	. 2 |- ( ph -> ( 0g o. R ) e. ( Base ` Y ) )
56	54	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. ( Base ` Y ) ( ( ( 0g o. R ) ( +g ` Y ) a ) = a /\ ( a ( +g ` Y ) ( 0g o. R ) ) = a ) )
57	56	r19.21bi 2638	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( ( 0g o. R ) ( +g ` Y ) a ) = a /\ ( a ( +g ` Y ) ( 0g o. R ) ) = a ) )
58	57	simpld 112	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( 0g o. R ) ( +g ` Y ) a ) = a )
59	57	simprd 114	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( a ( +g ` Y ) ( 0g o. R ) ) = a )
60	1, 2, 17, 52, 55, 58, 59	ismndd 13730	1 |- ( ph -> Y e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4190   o. ccom 4776   Fn wfn 5370   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   Basecbs 13333   +g cplusg 13411   0gc0g 13590   Mndcmnd 13709   X__scprds 14149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-map 6917  df-ixp 6974  df-sup 7317  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-5 9348  df-6 9349  df-7 9350  df-8 9351  df-9 9352  df-n0 9546  df-z 9627  df-dec 9760  df-uz 9904  df-fz 10394  df-struct 13335  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-sca 13427  df-vsca 13428  df-ip 13429  df-tset 13430  df-ple 13431  df-ds 13433  df-hom 13435  df-cco 13436  df-rest 13575  df-topn 13576  df-0g 13592  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-prds 14150

This theorem is referenced by:  prds0g  14175  prdsgrpd  14177  pwsmnd  14192