Theorem prdsmndd 13653

Description: The product of a family of monoids is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmndd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsmndd.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsmndd.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsmndd.r	|- ( ph -> R : I --> Mnd )

Assertion

Ref	Expression
prdsmndd	|- ( ph -> Y e. Mnd )

Proof of Theorem prdsmndd

Dummy variables a b y c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2233	. 2 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) )
2		eqidd 2233	. 2 |- ( ph -> ( +g ` Y ) = ( +g ` Y ) )
3		prdsmndd.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s R )
4		eqid 2232	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
5		eqid 2232	. . . 4 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
6		prdsmndd.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. V )
7	6	elexd 2826	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> S e. _V )
9		prdsmndd.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. W )
10	9	elexd 2826	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> I e. _V )
12		prdsmndd.r	. . . . 5 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
13	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> R : I --> Mnd )
14		simprl 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> a e. ( Base ` Y ) )
15		simprr 533	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> b e. ( Base ` Y ) )
16	3, 4, 5, 8, 11, 13, 14, 15	prdsplusgcl 13651	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( +g ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
17	16	3impb 1226	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) -> ( a ( +g ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
18	12	ffvelcdmda 5811	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
19	18	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
20	7	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> S e. _V )
21	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> I e. _V )
22	12	ffnd 5508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R Fn I )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> R Fn I )
24		simplr1 1066	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> a e. ( Base ` Y ) )
25		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> y e. I )
26	3, 4, 20, 21, 23, 24, 25	prdsbasprj 13487	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( a ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
27		simplr2 1067	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> b e. ( Base ` Y ) )
28	3, 4, 20, 21, 23, 27, 25	prdsbasprj 13487	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( b ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
29		simplr3 1068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> c e. ( Base ` Y ) )
30	3, 4, 20, 21, 23, 29, 25	prdsbasprj 13487	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( c ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
31		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` y ) ) = ( Base ` ( R ` y ) )
32		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( +g ` ( R ` y ) ) = ( +g ` ( R ` y ) )
33	31, 32	mndass 13629	. . . . . 6 |- ( ( ( R ` y ) e. Mnd /\ ( ( a ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) /\ ( b ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) /\ ( c ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) -> ( ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
34	19, 26, 28, 30, 33	syl13anc 1276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
35	3, 4, 20, 21, 23, 24, 27, 5, 25	prdsplusgfval 13489	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) )
36	35	oveq1d 6064	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
37	3, 4, 20, 21, 23, 27, 29, 5, 25	prdsplusgfval 13489	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) = ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
38	37	oveq2d 6065	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
39	34, 36, 38	3eqtr4d 2275	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) )
40	39	mpteq2dva 4199	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( y e. I |-> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
41	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> S e. _V )
42	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> I e. _V )
43	22	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> R Fn I )
44	16	3adantr3 1185	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( +g ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
45		simpr3 1032	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> c e. ( Base ` Y ) )
46	3, 4, 41, 42, 43, 44, 45, 5	prdsplusgval 13488	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( +g ` Y ) b ) ( +g ` Y ) c ) = ( y e. I |-> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
47		simpr1 1030	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> a e. ( Base ` Y ) )
48	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> R : I --> Mnd )
49		simpr2 1031	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> b e. ( Base ` Y ) )
50	3, 4, 5, 41, 42, 48, 49, 45	prdsplusgcl 13651	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( b ( +g ` Y ) c ) e. ( Base ` Y ) )
51	3, 4, 41, 42, 43, 47, 50, 5	prdsplusgval 13488	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( +g ` Y ) ( b ( +g ` Y ) c ) ) = ( y e. I |-> ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
52	40, 46, 51	3eqtr4d 2275	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( +g ` Y ) b ) ( +g ` Y ) c ) = ( a ( +g ` Y ) ( b ( +g ` Y ) c ) ) )
53		eqid 2232	. . . 4 |- ( 0g o. R ) = ( 0g o. R )
54	3, 4, 5, 7, 10, 12, 53	prdsidlem 13652	. . 3 |- ( ph -> ( ( 0g o. R ) e. ( Base ` Y ) /\ A. a e. ( Base ` Y ) ( ( ( 0g o. R ) ( +g ` Y ) a ) = a /\ ( a ( +g ` Y ) ( 0g o. R ) ) = a ) ) )
55	54	simpld 112	. 2 |- ( ph -> ( 0g o. R ) e. ( Base ` Y ) )
56	54	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. ( Base ` Y ) ( ( ( 0g o. R ) ( +g ` Y ) a ) = a /\ ( a ( +g ` Y ) ( 0g o. R ) ) = a ) )
57	56	r19.21bi 2630	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( ( 0g o. R ) ( +g ` Y ) a ) = a /\ ( a ( +g ` Y ) ( 0g o. R ) ) = a ) )
58	57	simpld 112	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( 0g o. R ) ( +g ` Y ) a ) = a )
59	57	simprd 114	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( a ( +g ` Y ) ( 0g o. R ) ) = a )
60	1, 2, 17, 52, 55, 58, 59	ismndd 13642	1 |- ( ph -> Y e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2812   |-> cmpt 4170   o. ccom 4752   Fn wfn 5346   -->wf 5347   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   Basecbs 13204   +g cplusg 13282   0gc0g 13461   X__scprds 13470   Mndcmnd 13621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-ixp 6933  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-fz 10342  df-struct 13206  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-ip 13300  df-tset 13301  df-ple 13302  df-ds 13304  df-hom 13306  df-cco 13307  df-rest 13446  df-topn 13447  df-0g 13463  df-topgen 13465  df-pt 13466  df-prds 13472  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622

This theorem is referenced by:  prds0g  13654  pwsmnd  13655  prdsgrpd  13814