Theorem qusecsub 13667

Description: Two subgroup cosets are equal if and only if the difference of their representatives is a member of the subgroup. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusecsub.x	|- B = ( Base ` G )
qusecsub.n	|- .- = ( -g ` G )
qusecsub.r	|- .~ = ( G ~QG S )

Assertion

Ref	Expression
qusecsub	|- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( [ X ] .~ = [ Y ] .~ <-> ( Y .- X ) e. S ) )

Proof of Theorem qusecsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusecsub.x	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2	1	subgss 13510	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )
3	2	anim2i 342	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( G e. Abel /\ S C_ B ) )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( G e. Abel /\ S C_ B ) )
5		qusecsub.n	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
6		qusecsub.r	. . . 4 |- .~ = ( G ~QG S )
7	1, 5, 6	eqgabl 13666	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ S C_ B ) -> ( X .~ Y <-> ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .- X ) e. S ) ) )
8	4, 7	syl 14	. 2 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .~ Y <-> ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .- X ) e. S ) ) )
9	1, 6	eqger 13560	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er B )
10	9	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> .~ Er B )
11		simprl 529	. . 3 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
12	10, 11	erth 6666	. 2 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .~ Y <-> [ X ] .~ = [ Y ] .~ ) )
13		df-3an 983	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .- X ) e. S ) <-> ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Y .- X ) e. S ) )
14		ibar 301	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .- X ) e. S <-> ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Y .- X ) e. S ) ) )
15	14	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Y .- X ) e. S <-> ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Y .- X ) e. S ) ) )
16	13, 15	bitr4id 199	. 2 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .- X ) e. S ) <-> ( Y .- X ) e. S ) )
17	8, 12, 16	3bitr3d 218	1 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( [ X ] .~ = [ Y ] .~ <-> ( Y .- X ) e. S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Er wer 6617   [cec 6618   Basecbs 12832   -gcsg 13334  SubGrpcsubg 13503   ~_QG cqg 13505   Abelcabl 13621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-er 6620  df-ec 6622  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-sbg 13337  df-subg 13506  df-eqg 13508  df-cmn 13622  df-abl 13623

This theorem is referenced by: (None)