Theorem qusecsub 13537

Description: Two subgroup cosets are equal if and only if the difference of their representatives is a member of the subgroup. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusecsub.x	|- B = ( Base ` G )
qusecsub.n	|- .- = ( -g ` G )
qusecsub.r	|- .~ = ( G ~QG S )

Assertion

Ref	Expression
qusecsub	|- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( [ X ] .~ = [ Y ] .~ <-> ( Y .- X ) e. S ) )

Proof of Theorem qusecsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusecsub.x	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2	1	subgss 13380	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )
3	2	anim2i 342	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( G e. Abel /\ S C_ B ) )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( G e. Abel /\ S C_ B ) )
5		qusecsub.n	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
6		qusecsub.r	. . . 4 |- .~ = ( G ~QG S )
7	1, 5, 6	eqgabl 13536	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ S C_ B ) -> ( X .~ Y <-> ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .- X ) e. S ) ) )
8	4, 7	syl 14	. 2 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .~ Y <-> ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .- X ) e. S ) ) )
9	1, 6	eqger 13430	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er B )
10	9	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> .~ Er B )
11		simprl 529	. . 3 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
12	10, 11	erth 6647	. 2 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .~ Y <-> [ X ] .~ = [ Y ] .~ ) )
13		df-3an 982	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .- X ) e. S ) <-> ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Y .- X ) e. S ) )
14		ibar 301	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .- X ) e. S <-> ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Y .- X ) e. S ) ) )
15	14	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Y .- X ) e. S <-> ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Y .- X ) e. S ) ) )
16	13, 15	bitr4id 199	. 2 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .- X ) e. S ) <-> ( Y .- X ) e. S ) )
17	8, 12, 16	3bitr3d 218	1 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( [ X ] .~ = [ Y ] .~ <-> ( Y .- X ) e. S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Er wer 6598   [cec 6599   Basecbs 12703   -gcsg 13204  SubGrpcsubg 13373   ~_QG cqg 13375   Abelcabl 13491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-er 6601  df-ec 6603  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207  df-subg 13376  df-eqg 13378  df-cmn 13492  df-abl 13493

This theorem is referenced by: (None)