Theorem qusecsub 13404

Description: Two subgroup cosets are equal if and only if the difference of their representatives is a member of the subgroup. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusecsub.x	|- B = ( Base ` G )
qusecsub.n	|- .- = ( -g ` G )
qusecsub.r	|- .~ = ( G ~QG S )

Assertion

Ref	Expression
qusecsub	|- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( [ X ] .~ = [ Y ] .~ <-> ( Y .- X ) e. S ) )

Proof of Theorem qusecsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusecsub.x	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2	1	subgss 13247	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )
3	2	anim2i 342	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( G e. Abel /\ S C_ B ) )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( G e. Abel /\ S C_ B ) )
5		qusecsub.n	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
6		qusecsub.r	. . . 4 |- .~ = ( G ~QG S )
7	1, 5, 6	eqgabl 13403	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ S C_ B ) -> ( X .~ Y <-> ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .- X ) e. S ) ) )
8	4, 7	syl 14	. 2 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .~ Y <-> ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .- X ) e. S ) ) )
9	1, 6	eqger 13297	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er B )
10	9	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> .~ Er B )
11		simprl 529	. . 3 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
12	10, 11	erth 6635	. 2 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .~ Y <-> [ X ] .~ = [ Y ] .~ ) )
13		df-3an 982	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .- X ) e. S ) <-> ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Y .- X ) e. S ) )
14		ibar 301	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .- X ) e. S <-> ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Y .- X ) e. S ) ) )
15	14	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Y .- X ) e. S <-> ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Y .- X ) e. S ) ) )
16	13, 15	bitr4id 199	. 2 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .- X ) e. S ) <-> ( Y .- X ) e. S ) )
17	8, 12, 16	3bitr3d 218	1 |- ( ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( [ X ] .~ = [ Y ] .~ <-> ( Y .- X ) e. S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3154   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Er wer 6586   [cec 6587   Basecbs 12621   -gcsg 13077  SubGrpcsubg 13240   ~_QG cqg 13242   Abelcabl 13358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-er 6589  df-ec 6591  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-subg 13243  df-eqg 13245  df-cmn 13359  df-abl 13360

This theorem is referenced by: (None)