Theorem qusecsub 13908

Description: Two subgroup cosets are equal if and only if the difference of their representatives is a member of the subgroup. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusecsub.x	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusecsub.n	⊢ − = (-g‘𝐺)
qusecsub.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
qusecsub	⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ([𝑋] ∼ = [𝑌] ∼ ↔ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆))

Proof of Theorem qusecsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusecsub.x	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 13751	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3	2	anim2i 342	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵))
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵))
5		qusecsub.n	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
6		qusecsub.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
7	1, 5, 6	eqgabl 13907	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆)))
8	4, 7	syl 14	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆)))
9	1, 6	eqger 13801	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝐵)
10	9	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∼ Er 𝐵)
11		simprl 529	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	erth 6743	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ [𝑋] ∼ = [𝑌] ∼ ))
13		df-3an 1004	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆))
14		ibar 301	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆)))
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆)))
16	13, 15	bitr4id 199	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆) ↔ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆))
17	8, 12, 16	3bitr3d 218	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ([𝑋] ∼ = [𝑌] ∼ ↔ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   Er wer 6694  [cec 6695  Basecbs 13072  -_gcsg 13575  SubGrpcsubg 13744   ~_QG cqg 13746  Abelcabl 13862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-er 6697  df-ec 6699  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-iress 13080  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-sbg 13578  df-subg 13747  df-eqg 13749  df-cmn 13863  df-abl 13864

This theorem is referenced by: (None)