Theorem remul2 10882

Description: Real part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
remul2	|- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( A x. ( Re ` B ) ) )

Proof of Theorem remul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7944	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		remul 10881	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
4		rere 10874	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( Re ` A ) = A )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) = A )
6	5	oveq1d 5890	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) = ( A x. ( Re ` B ) ) )
7		reim0 10870	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )
8	7	oveq1d 5890	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) = ( 0 x. ( Im ` B ) ) )
9		imcl 10863	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
10	9	recnd 7986	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. CC )
11	10	mul02d 8349	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( 0 x. ( Im ` B ) ) = 0 )
12	8, 11	sylan9eq 2230	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) = 0 )
13	6, 12	oveq12d 5893	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( A x. ( Re ` B ) ) - 0 ) )
14		recl 10862	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
15	14	recnd 7986	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. CC )
16		mulcl 7938	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` B ) e. CC ) -> ( A x. ( Re ` B ) ) e. CC )
17	1, 15, 16	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( A x. ( Re ` B ) ) e. CC )
18	17	subid1d 8257	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( Re ` B ) ) - 0 ) = ( A x. ( Re ` B ) ) )
19	3, 13, 18	3eqtrd 2214	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( A x. ( Re ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   RRcr 7810   0cc0 7811   x. cmul 7816   - cmin 8128   Recre 10849   Imcim 10850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-2 8978  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853

This theorem is referenced by:  redivap  10883  remul2d  10981  abscxp  14338