Theorem remul2 11040

Description: Real part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
remul2	|- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( A x. ( Re ` B ) ) )

Proof of Theorem remul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8014	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		remul 11039	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
4		rere 11032	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( Re ` A ) = A )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) = A )
6	5	oveq1d 5938	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) = ( A x. ( Re ` B ) ) )
7		reim0 11028	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )
8	7	oveq1d 5938	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) = ( 0 x. ( Im ` B ) ) )
9		imcl 11021	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
10	9	recnd 8057	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. CC )
11	10	mul02d 8420	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( 0 x. ( Im ` B ) ) = 0 )
12	8, 11	sylan9eq 2249	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) = 0 )
13	6, 12	oveq12d 5941	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( A x. ( Re ` B ) ) - 0 ) )
14		recl 11020	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
15	14	recnd 8057	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. CC )
16		mulcl 8008	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` B ) e. CC ) -> ( A x. ( Re ` B ) ) e. CC )
17	1, 15, 16	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( A x. ( Re ` B ) ) e. CC )
18	17	subid1d 8328	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( Re ` B ) ) - 0 ) = ( A x. ( Re ` B ) ) )
19	3, 13, 18	3eqtrd 2233	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( A x. ( Re ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   CCcc 7879   RRcr 7880   0cc0 7881   x. cmul 7886   - cmin 8199   Recre 11007   Imcim 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-2 9051  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011

This theorem is referenced by:  redivap  11041  remul2d  11139  abscxp  15161