ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  remul2 Unicode version

Theorem remul2 10877
Description: Real part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
remul2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Re `  B ) ) )

Proof of Theorem remul2
StepHypRef Expression
1 recn 7943 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 remul 10876 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
31, 2sylan 283 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
4 rere 10869 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Re `  A )  =  A )
54adantr 276 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  =  A )
65oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  =  ( A  x.  ( Re `  B ) ) )
7 reim0 10865 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
87oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  =  ( 0  x.  ( Im `  B
) ) )
9 imcl 10858 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
109recnd 7984 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
1110mul02d 8347 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  x.  ( Im
`  B ) )  =  0 )
128, 11sylan9eq 2230 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  =  0 )
136, 12oveq12d 5892 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( A  x.  ( Re
`  B ) )  -  0 ) )
14 recl 10857 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1514recnd 7984 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
16 mulcl 7937 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  B )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
171, 15, 16syl2an 289 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
1817subid1d 8255 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( Re `  B ) )  -  0 )  =  ( A  x.  ( Re `  B ) ) )
193, 13, 183eqtrd 2214 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Re `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810    x. cmul 7815    - cmin 8126   Recre 10844   Imcim 10845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-2 8976  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848
This theorem is referenced by:  redivap  10878  remul2d  10976  abscxp  14266
  Copyright terms: Public domain W3C validator