Theorem remul2 10532

Description: Real part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
remul2	|- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( A x. ( Re ` B ) ) )

Proof of Theorem remul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7671	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		remul 10531	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
3	1, 2	sylan 279	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
4		rere 10524	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( Re ` A ) = A )
5	4	adantr 272	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) = A )
6	5	oveq1d 5741	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) = ( A x. ( Re ` B ) ) )
7		reim0 10520	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )
8	7	oveq1d 5741	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) = ( 0 x. ( Im ` B ) ) )
9		imcl 10513	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
10	9	recnd 7712	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. CC )
11	10	mul02d 8067	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( 0 x. ( Im ` B ) ) = 0 )
12	8, 11	sylan9eq 2165	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) = 0 )
13	6, 12	oveq12d 5744	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( A x. ( Re ` B ) ) - 0 ) )
14		recl 10512	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
15	14	recnd 7712	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. CC )
16		mulcl 7665	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` B ) e. CC ) -> ( A x. ( Re ` B ) ) e. CC )
17	1, 15, 16	syl2an 285	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( A x. ( Re ` B ) ) e. CC )
18	17	subid1d 7979	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( Re ` B ) ) - 0 ) = ( A x. ( Re ` B ) ) )
19	3, 13, 18	3eqtrd 2149	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( A x. ( Re ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1312   e. wcel 1461   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   CCcc 7539   RRcr 7540   0cc0 7541   x. cmul 7546   - cmin 7850   Recre 10499   Imcim 10500

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-2 8683  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503

This theorem is referenced by:  redivap  10533  remul2d  10631