Theorem remul2 11653

Description: Real part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
remul2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (ℜ‘𝐵)))

Proof of Theorem remul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8313	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		remul 11652	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
3	1, 2	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
4		rere 11645	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
6	5	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) = (𝐴 · (ℜ‘𝐵)))
7		reim0 11641	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
8	7	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) = (0 · (ℑ‘𝐵)))
9		imcl 11634	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
10	9	recnd 8355	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
11	10	mul02d 8721	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 · (ℑ‘𝐵)) = 0)
12	8, 11	sylan9eq 2291	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) = 0)
13	6, 12	oveq12d 6103	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = ((𝐴 · (ℜ‘𝐵)) − 0))
14		recl 11633	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
15	14	recnd 8355	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
16		mulcl 8307	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
17	1, 15, 16	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
18	17	subid1d 8628	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (ℜ‘𝐵)) − 0) = (𝐴 · (ℜ‘𝐵)))
19	3, 13, 18	3eqtrd 2275	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (ℜ‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  ℝcr 8179  0cc0 8180   · cmul 8185   − cmin 8499  ℜcre 11620  ℑcim 11621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-2 9366  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624

This theorem is used by:  redivap  11654  remul2d  11753  abscxp  16073