Theorem remul2 11254

Description: Real part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
remul2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (ℜ‘𝐵)))

Proof of Theorem remul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8073	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		remul 11253	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
3	1, 2	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
4		rere 11246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
6	5	oveq1d 5971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) = (𝐴 · (ℜ‘𝐵)))
7		reim0 11242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
8	7	oveq1d 5971	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) = (0 · (ℑ‘𝐵)))
9		imcl 11235	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
10	9	recnd 8116	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
11	10	mul02d 8479	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 · (ℑ‘𝐵)) = 0)
12	8, 11	sylan9eq 2259	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) = 0)
13	6, 12	oveq12d 5974	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = ((𝐴 · (ℜ‘𝐵)) − 0))
14		recl 11234	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
15	14	recnd 8116	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
16		mulcl 8067	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
17	1, 15, 16	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
18	17	subid1d 8387	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (ℜ‘𝐵)) − 0) = (𝐴 · (ℜ‘𝐵)))
19	3, 13, 18	3eqtrd 2243	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (ℜ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  ℂcc 7938  ℝcr 7939  0cc0 7940   · cmul 7945   − cmin 8258  ℜcre 11221  ℑcim 11222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-2 9110  df-cj 11223  df-re 11224  df-im 11225

This theorem is referenced by:  redivap  11255  remul2d  11353  abscxp  15457