Theorem reim0 10873

Description: The imaginary part of a real number is 0. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reim0	|- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )

Proof of Theorem reim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7947	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		it0e0 9143	. . . . . 6 |- ( _i x. 0 ) = 0
3	2	oveq2i 5889	. . . . 5 |- ( A + ( _i x. 0 ) ) = ( A + 0 )
4		addid1 8098	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A + 0 ) = A )
5	3, 4	eqtrid 2222	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A + ( _i x. 0 ) ) = A )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A + ( _i x. 0 ) ) = A )
7	6	fveq2d 5521	. 2 |- ( A e. RR -> ( Im ` ( A + ( _i x. 0 ) ) ) = ( Im ` A ) )
8		0re 7960	. . 3 |- 0 e. RR
9		crim 10870	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( Im ` ( A + ( _i x. 0 ) ) ) = 0 )
10	8, 9	mpan2 425	. 2 |- ( A e. RR -> ( Im ` ( A + ( _i x. 0 ) ) ) = 0 )
11	7, 10	eqtr3d 2212	1 |- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   CCcc 7812   RRcr 7813   0cc0 7814   _ici 7816   + caddc 7817   x. cmul 7819   Imcim 10853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-2 8981  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856

This theorem is referenced by:  reim0b  10874  rereb  10875  remul2  10885  immul2  10892  im0  10908  im1  10910  reim0d  10982