Theorem reim0 10738

Description: The imaginary part of a real number is 0. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reim0	|- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )

Proof of Theorem reim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7844	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		it0e0 9033	. . . . . 6 |- ( _i x. 0 ) = 0
3	2	oveq2i 5825	. . . . 5 |- ( A + ( _i x. 0 ) ) = ( A + 0 )
4		addid1 7992	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A + 0 ) = A )
5	3, 4	syl5eq 2199	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A + ( _i x. 0 ) ) = A )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A + ( _i x. 0 ) ) = A )
7	6	fveq2d 5465	. 2 |- ( A e. RR -> ( Im ` ( A + ( _i x. 0 ) ) ) = ( Im ` A ) )
8		0re 7857	. . 3 |- 0 e. RR
9		crim 10735	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( Im ` ( A + ( _i x. 0 ) ) ) = 0 )
10	8, 9	mpan2 422	. 2 |- ( A e. RR -> ( Im ` ( A + ( _i x. 0 ) ) ) = 0 )
11	7, 10	eqtr3d 2189	1 |- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 2125   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   CCcc 7709   RRcr 7710   0cc0 7711   _ici 7713   + caddc 7714   x. cmul 7716   Imcim 10718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-2 8871  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721

This theorem is referenced by:  reim0b  10739  rereb  10740  remul2  10750  immul2  10757  im0  10773  im1  10775  reim0d  10847