ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexanuz2 GIF version

Theorem rexanuz2 10251
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
rexanuz2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍   𝜓,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 8919 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 rexuz3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2eleq2s 2177 . . . 4 (𝑗𝑍𝑀 ∈ ℤ)
43a1d 22 . . 3 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ))
54rexlimiv 2477 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
63a1d 22 . . . 4 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑𝑀 ∈ ℤ))
76rexlimiv 2477 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑𝑀 ∈ ℤ)
87adantr 270 . 2 ((∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
92rexuz3 10250 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
102rexuz3 10250 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
112rexuz3 10250 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
1210, 11anbi12d 457 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)))
13 rexanuz 10248 . . . 4 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
1412, 13syl6rbbr 197 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)))
159, 14bitrd 186 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)))
165, 8, 15pm5.21nii 653 1 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  cfv 4969  cz 8646  cuz 8914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915
This theorem is referenced by:  recvguniq  10255  climuni  10506  2clim  10514  climcn2  10522
  Copyright terms: Public domain W3C validator