Theorem rexuz3 10477

Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
rexuz3	|- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   M( k)

Proof of Theorem rexuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( k e. Z -> k e. Z )
2	1	rgen 2429	. . . 4 |- A. k e. Z k e. Z
3		fveq2 5318	. . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` M ) )
4		rexuz3.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5	3, 4	syl6eqr 2139	. . . . . 6 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = Z )
6	5	raleqdv 2569	. . . . 5 |- ( j = M -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z <-> A. k e. Z k e. Z ) )
7	6	rspcev 2723	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. Z k e. Z ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
8	2, 7	mpan2 417	. . 3 |- ( M e. ZZ -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
9	8	biantrurd 300	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
10	4	uztrn2 9090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
11	10	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ph -> k e. Z ) )
12	11	ancrd 320	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ph -> ( k e. Z /\ ph ) ) )
13	12	ralimdva 2442	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
14		eluzelz 9082	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
15	14, 4	eleq2s 2183	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
16	13, 15	jctild 310	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) ) )
17	16	imp 123	. . . . 5 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
18		uzid 9087	. . . . . . 7 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
19		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. Z /\ ph ) -> k e. Z )
20	19	ralimi 2439	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
21		eleq1 2151	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( k e. Z <-> j e. Z ) )
22	21	rspcva 2721	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z ) -> j e. Z )
23	18, 20, 22	syl2an 284	. . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> j e. Z )
24		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. Z /\ ph ) -> ph )
25	24	ralimi 2439	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
26	25	adantl 272	. . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
27	23, 26	jca 301	. . . . 5 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
28	17, 27	impbii 125	. . . 4 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
29	28	rexbii2 2390	. . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) )
30		rexanuz 10475	. . 3 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
31	29, 30	bitr2i 184	. 2 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
32	9, 31	syl6rbb 196	1 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   A.wral 2360   E.wrex 2361   ` cfv 5028   ZZcz 8804   ZZ>=cuz 9073

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074

This theorem is referenced by:  rexanuz2  10478  cau4  10603  clim2  10725