Theorem rexuz3 11172

Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
rexuz3	|- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   M( k)

Proof of Theorem rexuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( k e. Z -> k e. Z )
2	1	rgen 2550	. . . 4 |- A. k e. Z k e. Z
3		fveq2 5561	. . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` M ) )
4		rexuz3.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5	3, 4	eqtr4di 2247	. . . . . 6 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = Z )
6	5	raleqdv 2699	. . . . 5 |- ( j = M -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z <-> A. k e. Z k e. Z ) )
7	6	rspcev 2868	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. Z k e. Z ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
8	2, 7	mpan2 425	. . 3 |- ( M e. ZZ -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
9	8	biantrurd 305	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
10	4	uztrn2 9636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
11	10	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ph -> k e. Z ) )
12	11	ancrd 326	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ph -> ( k e. Z /\ ph ) ) )
13	12	ralimdva 2564	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
14		eluzelz 9627	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
15	14, 4	eleq2s 2291	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
16	13, 15	jctild 316	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) ) )
17	16	imp 124	. . . . 5 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
18		uzid 9632	. . . . . . 7 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
19		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. Z /\ ph ) -> k e. Z )
20	19	ralimi 2560	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
21		eleq1 2259	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( k e. Z <-> j e. Z ) )
22	21	rspcva 2866	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z ) -> j e. Z )
23	18, 20, 22	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> j e. Z )
24		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. Z /\ ph ) -> ph )
25	24	ralimi 2560	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
26	25	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
27	23, 26	jca 306	. . . . 5 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
28	17, 27	impbii 126	. . . 4 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
29	28	rexbii2 2508	. . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) )
30		rexanuz 11170	. . 3 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
31	29, 30	bitr2i 185	. 2 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
32	9, 31	bitr2di 197	1 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   ` cfv 5259   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  rexanuz2  11173  cau4  11298  clim2  11465  lmbr2  14534  lmff  14569