Theorem rexuz3 10932

Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
rexuz3	|- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   M( k)

Proof of Theorem rexuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( k e. Z -> k e. Z )
2	1	rgen 2519	. . . 4 |- A. k e. Z k e. Z
3		fveq2 5486	. . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` M ) )
4		rexuz3.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5	3, 4	eqtr4di 2217	. . . . . 6 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = Z )
6	5	raleqdv 2667	. . . . 5 |- ( j = M -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z <-> A. k e. Z k e. Z ) )
7	6	rspcev 2830	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. Z k e. Z ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
8	2, 7	mpan2 422	. . 3 |- ( M e. ZZ -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
9	8	biantrurd 303	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
10	4	uztrn2 9483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
11	10	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ph -> k e. Z ) )
12	11	ancrd 324	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ph -> ( k e. Z /\ ph ) ) )
13	12	ralimdva 2533	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
14		eluzelz 9475	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
15	14, 4	eleq2s 2261	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
16	13, 15	jctild 314	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) ) )
17	16	imp 123	. . . . 5 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
18		uzid 9480	. . . . . . 7 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
19		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. Z /\ ph ) -> k e. Z )
20	19	ralimi 2529	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
21		eleq1 2229	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( k e. Z <-> j e. Z ) )
22	21	rspcva 2828	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z ) -> j e. Z )
23	18, 20, 22	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> j e. Z )
24		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. Z /\ ph ) -> ph )
25	24	ralimi 2529	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
26	25	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
27	23, 26	jca 304	. . . . 5 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
28	17, 27	impbii 125	. . . 4 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
29	28	rexbii2 2477	. . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) )
30		rexanuz 10930	. . 3 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
31	29, 30	bitr2i 184	. 2 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
32	9, 31	bitr2di 196	1 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   ` cfv 5188   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  rexanuz2  10933  cau4  11058  clim2  11224  lmbr2  12854  lmff  12889