Theorem rexuz3 11675

Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
rexuz3	|- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   M( k)

Proof of Theorem rexuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( k e. Z -> k e. Z )
2	1	rgen 2595	. . . 4 |- A. k e. Z k e. Z
3		fveq2 5670	. . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` M ) )
4		rexuz3.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5	3, 4	eqtr4di 2283	. . . . . 6 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = Z )
6	5	raleqdv 2747	. . . . 5 |- ( j = M -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z <-> A. k e. Z k e. Z ) )
7	6	rspcev 2921	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. Z k e. Z ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
8	2, 7	mpan2 425	. . 3 |- ( M e. ZZ -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
9	8	biantrurd 305	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
10	4	uztrn2 9872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
11	10	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ph -> k e. Z ) )
12	11	ancrd 326	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ph -> ( k e. Z /\ ph ) ) )
13	12	ralimdva 2609	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
14		eluzelz 9863	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
15	14, 4	eleq2s 2327	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
16	13, 15	jctild 316	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) ) )
17	16	imp 124	. . . . 5 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
18		uzid 9868	. . . . . . 7 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
19		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. Z /\ ph ) -> k e. Z )
20	19	ralimi 2605	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
21		eleq1 2295	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( k e. Z <-> j e. Z ) )
22	21	rspcva 2919	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z ) -> j e. Z )
23	18, 20, 22	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> j e. Z )
24		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. Z /\ ph ) -> ph )
25	24	ralimi 2605	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
26	25	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
27	23, 26	jca 306	. . . . 5 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
28	17, 27	impbii 126	. . . 4 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
29	28	rexbii2 2553	. . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) )
30		rexanuz 11673	. . 3 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
31	29, 30	bitr2i 185	. 2 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
32	9, 31	bitr2di 197	1 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   ` cfv 5352   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  rexanuz2  11676  cau4  11801  clim2  11968  lmbr2  15079  lmff  15114