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Theorem rexuz3 10769
Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
rexuz3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    M( k)

Proof of Theorem rexuz3
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  Z )
21rgen 2485 . . . 4  |-  A. k  e.  Z  k  e.  Z
3 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  M )
)
4 rexuz3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4syl6eqr 2190 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  Z )
65raleqdv 2632 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) k  e.  Z  <->  A. k  e.  Z  k  e.  Z ) )
76rspcev 2789 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. k  e.  Z  k  e.  Z )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z )
82, 7mpan2 421 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z )
98biantrurd 303 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
104uztrn2 9350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
1110a1d 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ph  ->  k  e.  Z ) )
1211ancrd 324 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ph  ->  ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
1312ralimdva 2499 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
14 eluzelz 9342 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
1514, 4eleq2s 2234 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
1613, 15jctild 314 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  ( j  e.  ZZ  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) ) )
1716imp 123 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( j  e.  ZZ  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
18 uzid 9347 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
19 simpl 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  k  e.  Z )
2019ralimi 2495 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) k  e.  Z )
21 eleq1 2202 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  Z  <->  j  e.  Z ) )
2221rspcva 2787 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
2318, 20, 22syl2an 287 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  j  e.  Z )
24 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  ph )
2524ralimi 2495 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )
2625adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
2723, 26jca 304 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
2817, 27impbii 125 . . . 4  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
2928rexbii2 2446 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  Z  /\  ph ) )
30 rexanuz 10767 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) 
<->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
3129, 30bitr2i 184 . 2  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph )
329, 31syl6rbb 196 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   ` cfv 5123   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334
This theorem is referenced by:  rexanuz2  10770  cau4  10895  clim2  11059  lmbr2  12393  lmff  12428
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