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Theorem rexuz3 10477
Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
rexuz3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    M( k)

Proof of Theorem rexuz3
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  Z )
21rgen 2429 . . . 4  |-  A. k  e.  Z  k  e.  Z
3 fveq2 5318 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  M )
)
4 rexuz3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4syl6eqr 2139 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  Z )
65raleqdv 2569 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) k  e.  Z  <->  A. k  e.  Z  k  e.  Z ) )
76rspcev 2723 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. k  e.  Z  k  e.  Z )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z )
82, 7mpan2 417 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z )
98biantrurd 300 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
104uztrn2 9090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
1110a1d 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ph  ->  k  e.  Z ) )
1211ancrd 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ph  ->  ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
1312ralimdva 2442 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
14 eluzelz 9082 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
1514, 4eleq2s 2183 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
1613, 15jctild 310 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  ( j  e.  ZZ  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) ) )
1716imp 123 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( j  e.  ZZ  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
18 uzid 9087 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
19 simpl 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  k  e.  Z )
2019ralimi 2439 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) k  e.  Z )
21 eleq1 2151 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  Z  <->  j  e.  Z ) )
2221rspcva 2721 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
2318, 20, 22syl2an 284 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  j  e.  Z )
24 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  ph )
2524ralimi 2439 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )
2625adantl 272 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
2723, 26jca 301 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
2817, 27impbii 125 . . . 4  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
2928rexbii2 2390 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  Z  /\  ph ) )
30 rexanuz 10475 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) 
<->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
3129, 30bitr2i 184 . 2  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph )
329, 31syl6rbb 196 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290    e. wcel 1439   A.wral 2360   E.wrex 2361   ` cfv 5028   ZZcz 8804   ZZ>=cuz 9073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074
This theorem is referenced by:  rexanuz2  10478  cau4  10603  clim2  10725
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