Theorem ringinvdv 14022

Description: Write the inverse function in terms of division. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvdv.b	|- B = ( Base ` R )
ringinvdv.u	|- U = (Unit ` R )
ringinvdv.d	|- ./ = (/r ` R )
ringinvdv.o	|- .1. = ( 1r ` R )
ringinvdv.i	|- I = ( invr ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringinvdv	|- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( I ` X ) = ( .1. ./ X ) )

Proof of Theorem ringinvdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvdv.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
3		eqid 2207	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
5		ringinvdv.u	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
7		ringinvdv.i	. . . 4 |- I = ( invr ` R )
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> I = ( invr ` R ) )
9		ringinvdv.d	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ./ = (/r ` R ) )
11		simpl 109	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> R e. Ring )
12		ringinvdv.o	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` R )
13	1, 12	ringidcl 13897	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .1. e. B )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> .1. e. B )
15		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> X e. U )
16	2, 4, 6, 8, 10, 11, 14, 15	dvrvald 14011	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( .1. ./ X ) = ( .1. ( .r ` R ) ( I ` X ) ) )
17	5, 7, 1	ringinvcl 14002	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( I ` X ) e. B )
18	1, 3, 12	ringlidm 13900	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( .1. ( .r ` R ) ( I ` X ) ) = ( I ` X ) )
19	17, 18	syldan 282	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( .1. ( .r ` R ) ( I ` X ) ) = ( I ` X ) )
20	16, 19	eqtr2d 2241	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( I ` X ) = ( .1. ./ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   .rcmulr 13025   1rcur 13836   Ringcrg 13873  Unitcui 13964   invrcinvr 13997  /_rcdvr 14008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6354  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-cmn 13737  df-abl 13738  df-mgp 13798  df-ur 13837  df-srg 13841  df-ring 13875  df-oppr 13945  df-dvdsr 13966  df-unit 13967  df-invr 13998  df-dvr 14009

This theorem is referenced by: (None)