Theorem ringinvdv 14390

Description: Write the inverse function in terms of division. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvdv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvdv.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
ringinvdv.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
ringinvdv.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringinvdv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringinvdv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) = ( 1 / 𝑋))

Proof of Theorem ringinvdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvdv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
5		ringinvdv.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
7		ringinvdv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐼 = (invr‘𝑅))
9		ringinvdv.d	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
10	9	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → / = (/r‘𝑅))
11		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
12		ringinvdv.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	1, 12	ringidcl 14263	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 1 ∈ 𝐵)
15		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
16	2, 4, 6, 8, 10, 11, 14, 15	dvrvald 14379	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ( 1 / 𝑋) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)))
17	5, 7, 1	ringinvcl 14370	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	1, 3, 12	ringlidm 14266	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))
19	17, 18	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))
20	16, 19	eqtr2d 2268	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) = ( 1 / 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296  ._rcmulr 13375  1_rcur 14202  Ringcrg 14239  Unitcui 14331  inv_rcinvr 14365  /_rcdvr 14376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-tpos 6489  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-cmn 14039  df-abl 14040  df-mgp 14160  df-ur 14203  df-srg 14207  df-ring 14241  df-oppr 14311  df-dvdsr 14333  df-unit 14334  df-invr 14366  df-dvr 14377

This theorem is referenced by: (None)