ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringinvcl Unicode version

Theorem ringinvcl 13247
Description: The inverse of a unit is an element of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1  |-  U  =  (Unit `  R )
unitinvcl.2  |-  I  =  ( invr `  R
)
ringinvcl.3  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
ringinvcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
I `  X )  e.  B )

Proof of Theorem ringinvcl
StepHypRef Expression
1 ringinvcl.3 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
21a1i 9 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  B  =  ( Base `  R
) )
3 unitinvcl.1 . . 3  |-  U  =  (Unit `  R )
43a1i 9 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  U  =  (Unit `  R )
)
5 ringsrg 13177 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. SRing
)
65adantr 276 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  R  e. SRing )
7 unitinvcl.2 . . 3  |-  I  =  ( invr `  R
)
83, 7unitinvcl 13245 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
I `  X )  e.  U )
92, 4, 6, 8unitcld 13230 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
I `  X )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5216   Basecbs 12456  SRingcsrg 13099   Ringcrg 13132  Unitcui 13209   invrcinvr 13242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-tpos 6245  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-iress 12464  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835  df-cmn 13043  df-abl 13044  df-mgp 13084  df-ur 13096  df-srg 13100  df-ring 13134  df-oppr 13193  df-dvdsr 13211  df-unit 13212  df-invr 13243
This theorem is referenced by:  1rinv  13250  0unit  13251  dvrcl  13257  dvrass  13261  dvrcan1  13262  ringinvdv  13267  subrguss  13317  subrginv  13318  subrgunit  13320
  Copyright terms: Public domain W3C validator