Theorem ringinvcl 13442

Description: The inverse of a unit is an element of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitinvcl.1	|- U = (Unit ` R )
unitinvcl.2	|- I = ( invr ` R )
ringinvcl.3	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringinvcl	|- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( I ` X ) e. B )

Proof of Theorem ringinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvcl.3	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
3		unitinvcl.1	. . 3 |- U = (Unit ` R )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
5		ringsrg 13366	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> R e. SRing )
7		unitinvcl.2	. . 3 |- I = ( invr ` R )
8	3, 7	unitinvcl 13440	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( I ` X ) e. U )
9	2, 4, 6, 8	unitcld 13425	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( I ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5231   Basecbs 12486  SRingcsrg 13284   Ringcrg 13317  Unitcui 13404   invrcinvr 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-ltadd 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-tpos 6264  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-ltxr 8016  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-sets 12493  df-iress 12494  df-plusg 12574  df-mulr 12575  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-minusg 12921  df-cmn 13192  df-abl 13193  df-mgp 13242  df-ur 13281  df-srg 13285  df-ring 13319  df-oppr 13385  df-dvdsr 13406  df-unit 13407  df-invr 13438

This theorem is referenced by:  1rinv  13445  0unit  13446  dvrcl  13452  dvrass  13456  dvrcan1  13457  ringinvdv  13462  subrguss  13550  subrginv  13551  subrgunit  13553