Theorem ringinvcl 13368

Description: The inverse of a unit is an element of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitinvcl.1	|- U = (Unit ` R )
unitinvcl.2	|- I = ( invr ` R )
ringinvcl.3	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringinvcl	|- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( I ` X ) e. B )

Proof of Theorem ringinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvcl.3	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
3		unitinvcl.1	. . 3 |- U = (Unit ` R )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
5		ringsrg 13292	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> R e. SRing )
7		unitinvcl.2	. . 3 |- I = ( invr ` R )
8	3, 7	unitinvcl 13366	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( I ` X ) e. U )
9	2, 4, 6, 8	unitcld 13351	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( I ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   ` cfv 5228   Basecbs 12475  SRingcsrg 13210   Ringcrg 13243  Unitcui 13330   invrcinvr 13363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-tpos 6259  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-iress 12483  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-minusg 12902  df-cmn 13122  df-abl 13123  df-mgp 13171  df-ur 13207  df-srg 13211  df-ring 13245  df-oppr 13311  df-dvdsr 13332  df-unit 13333  df-invr 13364

This theorem is referenced by:  1rinv  13371  0unit  13372  dvrcl  13378  dvrass  13382  dvrcan1  13383  ringinvdv  13388  subrguss  13451  subrginv  13452  subrgunit  13454