Theorem s2elclwwlknon2 16360

Description: Sufficient conditions of a doubleton word to represent a closed walk on vertex X of length 2. (Contributed by AV, 11-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon2.c	|- C = (ClWWalksNOn ` G )
clwwlknon2x.v	|- V = (Vtx ` G )
clwwlknon2x.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
s2elclwwlknon2	|- ( ( X e. V /\ Y e. V /\ { X , Y } e. E ) -> <" X Y "> e. ( X C 2 ) )

Proof of Theorem s2elclwwlknon2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2cl 11415	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> <" X Y "> e. Word V )
2	1	3adant3 1044	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. V /\ { X , Y } e. E ) -> <" X Y "> e. Word V )
3		s2leng 11419	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> (♯ ` <" X Y "> ) = 2 )
4	3	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. V /\ { X , Y } e. E ) -> (♯ ` <" X Y "> ) = 2 )
5		s2fv0g 11417	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( <" X Y "> ` 0 ) = X )
6		s2fv1g 11418	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( <" X Y "> ` 1 ) = Y )
7	5, 6	preq12d 3760	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> { ( <" X Y "> ` 0 ) , ( <" X Y "> ` 1 ) } = { X , Y } )
8	7	eqcomd 2237	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> { X , Y } = { ( <" X Y "> ` 0 ) , ( <" X Y "> ` 1 ) } )
9	8	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( { X , Y } e. E <-> { ( <" X Y "> ` 0 ) , ( <" X Y "> ` 1 ) } e. E ) )
10	9	biimp3a 1382	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. V /\ { X , Y } e. E ) -> { ( <" X Y "> ` 0 ) , ( <" X Y "> ` 1 ) } e. E )
11	5	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. V /\ { X , Y } e. E ) -> ( <" X Y "> ` 0 ) = X )
12	4, 10, 11	3jca 1204	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. V /\ { X , Y } e. E ) -> ( (♯ ` <" X Y "> ) = 2 /\ { ( <" X Y "> ` 0 ) , ( <" X Y "> ` 1 ) } e. E /\ ( <" X Y "> ` 0 ) = X ) )
13		fveqeq2 5657	. . . 4 |- ( w = <" X Y "> -> ( (♯ ` w ) = 2 <-> (♯ ` <" X Y "> ) = 2 ) )
14		fveq1 5647	. . . . . 6 |- ( w = <" X Y "> -> ( w ` 0 ) = ( <" X Y "> ` 0 ) )
15		fveq1 5647	. . . . . 6 |- ( w = <" X Y "> -> ( w ` 1 ) = ( <" X Y "> ` 1 ) )
16	14, 15	preq12d 3760	. . . . 5 |- ( w = <" X Y "> -> { ( w ` 0 ) , ( w ` 1 ) } = { ( <" X Y "> ` 0 ) , ( <" X Y "> ` 1 ) } )
17	16	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( w = <" X Y "> -> ( { ( w ` 0 ) , ( w ` 1 ) } e. E <-> { ( <" X Y "> ` 0 ) , ( <" X Y "> ` 1 ) } e. E ) )
18	14	eqeq1d 2240	. . . 4 |- ( w = <" X Y "> -> ( ( w ` 0 ) = X <-> ( <" X Y "> ` 0 ) = X ) )
19	13, 17, 18	3anbi123d 1349	. . 3 |- ( w = <" X Y "> -> ( ( (♯ ` w ) = 2 /\ { ( w ` 0 ) , ( w ` 1 ) } e. E /\ ( w ` 0 ) = X ) <-> ( (♯ ` <" X Y "> ) = 2 /\ { ( <" X Y "> ` 0 ) , ( <" X Y "> ` 1 ) } e. E /\ ( <" X Y "> ` 0 ) = X ) ) )
20		clwwlknon2.c	. . . 4 |- C = (ClWWalksNOn ` G )
21		clwwlknon2x.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
22		clwwlknon2x.e	. . . 4 |- E = (Edg ` G )
23	20, 21, 22	clwwlknon2x 16359	. . 3 |- ( X C 2 ) = { w e. Word V | ( (♯ ` w ) = 2 /\ { ( w ` 0 ) , ( w ` 1 ) } e. E /\ ( w ` 0 ) = X ) }
24	19, 23	elrab2 2966	. 2 |- ( <" X Y "> e. ( X C 2 ) <-> ( <" X Y "> e. Word V /\ ( (♯ ` <" X Y "> ) = 2 /\ { ( <" X Y "> ` 0 ) , ( <" X Y "> ` 1 ) } e. E /\ ( <" X Y "> ` 0 ) = X ) ) )
25	2, 12, 24	sylanbrc 417	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. V /\ { X , Y } e. E ) -> <" X Y "> e. ( X C 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cpr 3674   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   0cc0 8075   1c1 8076   2c2 9236  ♯chash 11083  Word cword 11162   <"cs2 11379  Vtxcvtx 15936  Edgcedg 15981  ClWWalksNOncclwwlknon 16350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-inn 9186  df-2 9244  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-ihash 11084  df-word 11163  df-lsw 11208  df-concat 11217  df-s1 11242  df-s2 11386  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-vtx 15938  df-clwwlk 16316  df-clwwlkn 16328  df-clwwlknon 16351

This theorem is referenced by: (None)