Theorem s2fv0g 11361

Description: Extract the first symbol from a doubleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s2fv0g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)

Proof of Theorem s2fv0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 11330	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2		s1cl 11191	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉)
3		wrdv 11122	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word V)
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word V)
6		s1leng 11194	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1)
7	6	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1)
8		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		s1fv 11196	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
11	10	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
12		0nn0 9410	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 0 ∈ ℕ0)
14		0lt1 8299	. . 3 ⊢ 0 < 1
15	14	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 0 < 1)
16	1, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15	cats1fvd 11340	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  0cc0 8025  1c1 8026   < clt 8207  ℕ₀cn0 9395  ♯chash 11030  Word cword 11106  ⟨“cs1 11185  ⟨“cs2 11323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-ihash 11031  df-word 11107  df-concat 11161  df-s1 11186  df-s2 11330

This theorem is referenced by:  s3fv0g  11365  s2elclwwlknon2  16245