Theorem seqm1g 10545

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqm1g.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seqm1g.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seqm1g.p	|- ( ph -> .+ e. V )
seqm1g.f	|- ( ph -> F e. W )

Assertion

Ref	Expression
seqm1g	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Proof of Theorem seqm1g

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqm1g.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		seqm1g.n	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
3		seqm1g.f	. . 3 |- ( ph -> F e. W )
4		fvexg 5573	. . 3 |- ( ( F e. W /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
5	3, 4	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
6		simprl 529	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> x e. _V )
7		seqm1g.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. V )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> .+ e. V )
9		simprr 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> y e. _V )
10		ovexg 5952	. . 3 |- ( ( x e. _V /\ .+ e. V /\ y e. _V ) -> ( x .+ y ) e. _V )
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> ( x .+ y ) e. _V )
12	1, 2, 5, 11	seq3m1 10544	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   1c1 7873   + caddc 7875   - cmin 8190   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10591