Theorem seqm1g 10683

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqm1g.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seqm1g.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seqm1g.p	|- ( ph -> .+ e. V )
seqm1g.f	|- ( ph -> F e. W )

Assertion

Ref	Expression
seqm1g	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Proof of Theorem seqm1g

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqm1g.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		seqm1g.n	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
3		seqm1g.f	. . 3 |- ( ph -> F e. W )
4		fvexg 5642	. . 3 |- ( ( F e. W /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
5	3, 4	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
6		simprl 529	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> x e. _V )
7		seqm1g.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. V )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> .+ e. V )
9		simprr 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> y e. _V )
10		ovexg 6028	. . 3 |- ( ( x e. _V /\ .+ e. V /\ y e. _V ) -> ( x .+ y ) e. _V )
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> ( x .+ y ) e. _V )
12	1, 2, 5, 11	seq3m1 10682	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   1c1 7988   + caddc 7990   - cmin 8305   ZZcz 9434   ZZ>=cuz 9710   seqcseq 10656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-seqfrec 10657

This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10729