Theorem seq3m1 10470

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3m1.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3m1.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seq3m1.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3m1.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3m1	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3m1.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		seq3m1.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
3		eluzp1m1 9553	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5		seq3m1.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
6		seq3m1.pl	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
7	4, 5, 6	seq3p1 10464	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) )
8		eluzelcn 9541	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. CC )
9		ax-1cn 7906	. . . . 5 |- 1 e. CC
10		npcan 8168	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
12	2, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
13	12	fveq2d 5521	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
14	12	fveq2d 5521	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( F ` N ) )
15	14	oveq2d 5893	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )
16	7, 13, 15	3eqtr3d 2218	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   1c1 7814   + caddc 7816   - cmin 8130   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   seqcseq 10447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10500  seq3id  10510  seq3z  10513  bcn2  10746  seq3coll  10824  serf0  11362  lgsval2lem  14450