Theorem seq3m1 10695

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3m1.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3m1.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seq3m1.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3m1.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3m1	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3m1.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		seq3m1.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
3		eluzp1m1 9746	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5		seq3m1.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
6		seq3m1.pl	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
7	4, 5, 6	seq3p1 10687	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) )
8		eluzelcn 9733	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. CC )
9		ax-1cn 8092	. . . . 5 |- 1 e. CC
10		npcan 8355	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
12	2, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
13	12	fveq2d 5631	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
14	12	fveq2d 5631	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( F ` N ) )
15	14	oveq2d 6017	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )
16	7, 13, 15	3eqtr3d 2270	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   1c1 8000   + caddc 8002   - cmin 8317   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   seqcseq 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-seqfrec 10670

This theorem is referenced by:  seqm1g  10696  seq3f1olemqsumkj  10733  seq3id  10747  seq3z  10750  bcn2  10986  seq3coll  11064  serf0  11863  lgsval2lem  15689