Theorem seq3m1 10565

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3m1.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3m1.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seq3m1.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3m1.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3m1	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3m1.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		seq3m1.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
3		eluzp1m1 9625	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5		seq3m1.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
6		seq3m1.pl	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
7	4, 5, 6	seq3p1 10557	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) )
8		eluzelcn 9612	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. CC )
9		ax-1cn 7972	. . . . 5 |- 1 e. CC
10		npcan 8235	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
12	2, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
13	12	fveq2d 5562	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
14	12	fveq2d 5562	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( F ` N ) )
15	14	oveq2d 5938	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )
16	7, 13, 15	3eqtr3d 2237	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   1c1 7880   + caddc 7882   - cmin 8197   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   seqcseq 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540

This theorem is referenced by:  seqm1g  10566  seq3f1olemqsumkj  10603  seq3id  10617  seq3z  10620  bcn2  10856  seq3coll  10934  serf0  11517  lgsval2lem  15251