Theorem seq3m1 10272

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3m1.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3m1.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seq3m1.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3m1.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3m1	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3m1.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		seq3m1.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
3		eluzp1m1 9373	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5		seq3m1.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
6		seq3m1.pl	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
7	4, 5, 6	seq3p1 10266	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) )
8		eluzelcn 9361	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. CC )
9		ax-1cn 7737	. . . . 5 |- 1 e. CC
10		npcan 7995	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
11	8, 9, 10	sylancl 410	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
12	2, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
13	12	fveq2d 5433	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
14	12	fveq2d 5433	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( F ` N ) )
15	14	oveq2d 5798	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )
16	7, 13, 15	3eqtr3d 2181	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   1c1 7645   + caddc 7647   - cmin 7957   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   seqcseq 10249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-seqfrec 10250

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10302  seq3id  10312  seq3z  10315  bcn2  10542  seq3coll  10617  serf0  11153