Theorem seqm1g 10636

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqm1g.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seqm1g.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
seqm1g.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑉)
seqm1g.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
seqm1g	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))

Proof of Theorem seqm1g

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqm1g.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		seqm1g.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
3		seqm1g.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
4		fvexg 5607	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	3, 4	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
6		simprl 529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑥 ∈ V)
7		seqm1g.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑉)
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → + ∈ 𝑉)
9		simprr 531	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑦 ∈ V)
10		ovexg 5990	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ + ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1250	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
12	1, 2, 5, 11	seq3m1 10635	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  1c1 7941   + caddc 7943   − cmin 8258  ℤcz 9387  ℤ_≥cuz 9663  seqcseq 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-seqfrec 10610

This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10682