ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srgen1zr GIF version

Theorem srgen1zr 13124
Description: The only semiring with one element is the zero ring (at least if its operations are internal binary operations). (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
srg1zr.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srg1zr.p + = (+g𝑅)
srg1zr.t = (.r𝑅)
srgen1zr.p 𝑍 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
srgen1zr ((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 ≈ 1o ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Proof of Theorem srgen1zr
StepHypRef Expression
1 srg1zr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 srgen1zr.p . . . 4 𝑍 = (0g𝑅)
31, 2srg0cl 13113 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → 𝑍𝐵)
433ad2ant1 1018 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) → 𝑍𝐵)
5 en1eqsnbi 6947 . . . 4 (𝑍𝐵 → (𝐵 ≈ 1o𝐵 = {𝑍}))
65adantl 277 . . 3 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 ≈ 1o𝐵 = {𝑍}))
7 srg1zr.p . . . 4 + = (+g𝑅)
8 srg1zr.t . . . 4 = (.r𝑅)
91, 7, 8srg1zr 13123 . . 3 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
106, 9bitrd 188 . 2 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 ≈ 1o ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
114, 10mpdan 421 1 ((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 ≈ 1o ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  {csn 3592  cop 3595   class class class wbr 4003   × cxp 4624   Fn wfn 5211  cfv 5216  1oc1o 6409  cen 6737  Basecbs 12456  +gcplusg 12530  .rcmulr 12531  0gc0g 12695  SRingcsrg 13099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-1o 6416  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-plusf 12728  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-cmn 13043  df-mgp 13084  df-srg 13100
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator