Theorem sswrd 11067

Description: The set of words respects ordering on the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sswrd	|- ( S C_ T -> Word S C_ Word T )

Proof of Theorem sswrd

Dummy variables w l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11060	. . . . . 6 |- ( w e. Word S <-> E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S )
2	1	biimpi 120	. . . . 5 |- ( w e. Word S -> E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( S C_ T /\ w e. Word S ) -> E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S )
4		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ T /\ w e. Word S ) /\ ( l e. NN0 /\ w : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> w : ( 0..^ l ) --> S )
5		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ T /\ w e. Word S ) /\ ( l e. NN0 /\ w : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> S C_ T )
6	4, 5	fssd 5482	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ T /\ w e. Word S ) /\ ( l e. NN0 /\ w : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> w : ( 0..^ l ) --> T )
7		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ T /\ w e. Word S ) /\ ( l e. NN0 /\ w : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> l e. NN0 )
8		iswrdinn0 11063	. . . . 5 |- ( ( w : ( 0..^ l ) --> T /\ l e. NN0 ) -> w e. Word T )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( S C_ T /\ w e. Word S ) /\ ( l e. NN0 /\ w : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> w e. Word T )
10	3, 9	rexlimddv 2653	. . 3 |- ( ( S C_ T /\ w e. Word S ) -> w e. Word T )
11	10	ex 115	. 2 |- ( S C_ T -> ( w e. Word S -> w e. Word T ) )
12	11	ssrdv 3230	1 |- ( S C_ T -> Word S C_ Word T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   E.wrex 2509   C_ wss 3197   -->wf 5310  (class class class)co 5994   0cc0 7987   NN0cn0 9357  ..^cfzo 10326  Word cword 11058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-er 6670  df-en 6878  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-word 11059

This theorem is referenced by:  wrdv  11074  wrdeq  11080  ccatclab  11115