Theorem sswrd 11010

Description: The set of words respects ordering on the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sswrd	⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → Word 𝑆 ⊆ Word 𝑇)

Proof of Theorem sswrd

Dummy variables 𝑤 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2	1	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆)
4		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑆) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆)
5		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑆) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
6	4, 5	fssd 5444	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑆) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑇)
7		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑆) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
8		iswrdinn0 11006	. . . . 5 ⊢ ((𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑇 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ Word 𝑇)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑆) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → 𝑤 ∈ Word 𝑇)
10	3, 9	rexlimddv 2629	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑆) → 𝑤 ∈ Word 𝑇)
11	10	ex 115	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (𝑤 ∈ Word 𝑆 → 𝑤 ∈ Word 𝑇))
12	11	ssrdv 3200	1 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → Word 𝑆 ⊆ Word 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   ⊆ wss 3167  ⟶wf 5272  (class class class)co 5951  0cc0 7932  ℕ₀cn0 9302  ..^cfzo 10271  Word cword 11001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-1o 6509  df-er 6627  df-en 6835  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-word 11002

This theorem is referenced by:  wrdv  11017  wrdeq  11023  ccatclab  11058