Theorem snopiswrd 11337

Description: A singleton of an ordered pair (with 0 as first component) is a word. (Contributed by AV, 23-Nov-2018.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snopiswrd	|- ( S e. V -> { <. 0 , S >. } e. Word V )

Proof of Theorem snopiswrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9668	. . . 4 |- ( S e. V -> 0 e. ZZ )
2		id 19	. . . 4 |- ( S e. V -> S e. V )
3	1, 2	fsnd 5687	. . 3 |- ( S e. V -> { <. 0 , S >. } : { 0 } --> V )
4		fzo01 10652	. . . 4 |- ( 0..^ 1 ) = { 0 }
5	4	feq2i 5530	. . 3 |- ( { <. 0 , S >. } : ( 0..^ 1 ) --> V <-> { <. 0 , S >. } : { 0 } --> V )
6	3, 5	sylibr 134	. 2 |- ( S e. V -> { <. 0 , S >. } : ( 0..^ 1 ) --> V )
7		1nn0 9591	. 2 |- 1 e. NN0
8		iswrdinn0 11332	. 2 |- ( ( { <. 0 , S >. } : ( 0..^ 1 ) --> V /\ 1 e. NN0 ) -> { <. 0 , S >. } e. Word V )
9	6, 7, 8	sylancl 417	1 |- ( S e. V -> { <. 0 , S >. } e. Word V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   {csn 3709   <.cop 3712   -->wf 5376  (class class class)co 6088   0cc0 8186   1c1 8187   NN0cn0 9575   ZZcz 9656  ..^cfzo 10567  Word cword 11327

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7028  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-word 11328

This theorem is used by:  wrdexb  11339  s1cl  11412