Theorem iswrd 11251

Description: Property of being a word over a set with an existential quantifier over the length. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iswrd	|- ( W e. Word S <-> E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S )

Distinct variable groups:   S, l   W, l

Proof of Theorem iswrd

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-word 11250	. . 3 |- Word S = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S }
2	1	eleq2i 2301	. 2 |- ( W e. Word S <-> W e. { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S } )
3		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) -> W : ( 0..^ l ) --> S )
4		0z 9605	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
5		nn0z 9614	. . . . . . 7 |- ( l e. NN0 -> l e. ZZ )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) -> l e. ZZ )
7		fzofig 10818	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ l e. ZZ ) -> ( 0..^ l ) e. Fin )
8	4, 6, 7	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) -> ( 0..^ l ) e. Fin )
9	3, 8	fexd 5921	. . . 4 |- ( ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) -> W e. _V )
10	9	rexlimiva 2657	. . 3 |- ( E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S -> W e. _V )
11		feq1 5496	. . . 4 |- ( w = W -> ( w : ( 0..^ l ) --> S <-> W : ( 0..^ l ) --> S ) )
12	11	rexbidv 2545	. . 3 |- ( w = W -> ( E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S <-> E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S ) )
13	10, 12	elab3 2972	. 2 |- ( W e. { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S } <-> E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S )
14	2, 13	bitri 184	1 |- ( W e. Word S <-> E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   -->wf 5353  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   0cc0 8143   NN0cn0 9513   ZZcz 9594  ..^cfzo 10498  Word cword 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-word 11250

This theorem is referenced by:  lencl  11253  iswrdinn0  11254  wrdf  11255  sswrd  11258