Theorem struct2griedg 16058

Description: The set of indexed edges of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
struct2grvtx.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. }

Assertion

Ref	Expression
struct2griedg	|- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (iEdg ` G ) = E )

Proof of Theorem struct2griedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		struct2grvtx.g	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. }
2	1	struct2grstrg 16056	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) >. )
3		simpl 109	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> V e. X )
4		simpr 110	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> E e. Y )
5	1	eqimss2i 3297	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G )
7	2, 3, 4, 6	structgrssiedg 16055	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (iEdg ` G ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3213   {cpr 3692   <.cop 3694   ` cfv 5354   ndxcnx 13226   Basecbs 13229  .efcedgf 16016  iEdgciedg 16025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-2o 6650  df-en 6978  df-dom 6979  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-fz 10346  df-struct 13231  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-iedg 16027

This theorem is referenced by:  edgstruct  16076