Theorem subhalfhalf 9523

Description: Subtracting the half of a number from the number yields the half of the number. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
subhalfhalf	|- ( A e. CC -> ( A - ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )

Proof of Theorem subhalfhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A e. CC )
2		2cnd 9360	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 2 e. CC )
3		2ap0 9380	. . . . . 6 |- 2 # 0
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 2 # 0 )
5	1, 2, 4	divcanap1d 9115	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A / 2 ) x. 2 ) = A )
6	5	eqcomd 2244	. . 3 |- ( A e. CC -> A = ( ( A / 2 ) x. 2 ) )
7	6	oveq1d 6094	. 2 |- ( A e. CC -> ( A - ( A / 2 ) ) = ( ( ( A / 2 ) x. 2 ) - ( A / 2 ) ) )
8		halfcl 9514	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A / 2 ) e. CC )
9	8, 2	mulcomd 8341	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( A / 2 ) x. 2 ) = ( 2 x. ( A / 2 ) ) )
10	9	oveq1d 6094	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( A / 2 ) x. 2 ) - ( A / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) - ( A / 2 ) ) )
11	2, 8	mulsubfacd 8740	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) - ( A / 2 ) ) = ( ( 2 - 1 ) x. ( A / 2 ) ) )
12		2m1e1 9405	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) = 1
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( 2 - 1 ) = 1 )
14	13	oveq1d 6094	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 2 - 1 ) x. ( A / 2 ) ) = ( 1 x. ( A / 2 ) ) )
15	8	mullidd 8338	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 1 x. ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )
16	11, 14, 15	3eqtrd 2275	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) - ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )
17	7, 10, 16	3eqtrd 2275	1 |- ( A e. CC -> ( A - ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   CCcc 8171   0cc0 8173   1c1 8174   x. cmul 8178   - cmin 8491   # cap 8903   / cdiv 8996   2c2 9338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-2 9346

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2uz2  10724  gausslemma2dlem1a  16160