Theorem subhalfhalf 9287

Description: Subtracting the half of a number from the number yields the half of the number. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
subhalfhalf	|- ( A e. CC -> ( A - ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )

Proof of Theorem subhalfhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A e. CC )
2		2cnd 9124	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 2 e. CC )
3		2ap0 9144	. . . . . 6 |- 2 # 0
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 2 # 0 )
5	1, 2, 4	divcanap1d 8879	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A / 2 ) x. 2 ) = A )
6	5	eqcomd 2212	. . 3 |- ( A e. CC -> A = ( ( A / 2 ) x. 2 ) )
7	6	oveq1d 5971	. 2 |- ( A e. CC -> ( A - ( A / 2 ) ) = ( ( ( A / 2 ) x. 2 ) - ( A / 2 ) ) )
8		halfcl 9278	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A / 2 ) e. CC )
9	8, 2	mulcomd 8109	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( A / 2 ) x. 2 ) = ( 2 x. ( A / 2 ) ) )
10	9	oveq1d 5971	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( A / 2 ) x. 2 ) - ( A / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) - ( A / 2 ) ) )
11	2, 8	mulsubfacd 8506	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) - ( A / 2 ) ) = ( ( 2 - 1 ) x. ( A / 2 ) ) )
12		2m1e1 9169	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) = 1
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( 2 - 1 ) = 1 )
14	13	oveq1d 5971	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 2 - 1 ) x. ( A / 2 ) ) = ( 1 x. ( A / 2 ) ) )
15	8	mullidd 8105	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 1 x. ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )
16	11, 14, 15	3eqtrd 2243	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) - ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )
17	7, 10, 16	3eqtrd 2243	1 |- ( A e. CC -> ( A - ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956   CCcc 7938   0cc0 7940   1c1 7941   x. cmul 7945   - cmin 8258   # cap 8669   / cdiv 8760   2c2 9102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-2 9110

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2uz2  10466  gausslemma2dlem1a  15605