Theorem subhalfhalf 9552

Description: Subtracting the half of a number from the number yields the half of the number. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
subhalfhalf	|- ( A e. CC -> ( A - ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )

Proof of Theorem subhalfhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A e. CC )
2		2cnd 9387	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 2 e. CC )
3		2ap0 9407	. . . . . 6 |- 2 # 0
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 2 # 0 )
5	1, 2, 4	divcanap1d 9130	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A / 2 ) x. 2 ) = A )
6	5	eqcomd 2244	. . 3 |- ( A e. CC -> A = ( ( A / 2 ) x. 2 ) )
7	6	oveq1d 6103	. 2 |- ( A e. CC -> ( A - ( A / 2 ) ) = ( ( ( A / 2 ) x. 2 ) - ( A / 2 ) ) )
8		halfcl 9543	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A / 2 ) e. CC )
9	8, 2	mulcomd 8354	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( A / 2 ) x. 2 ) = ( 2 x. ( A / 2 ) ) )
10	9	oveq1d 6103	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( A / 2 ) x. 2 ) - ( A / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) - ( A / 2 ) ) )
11	2, 8	mulsubfacd 8754	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) - ( A / 2 ) ) = ( ( 2 - 1 ) x. ( A / 2 ) ) )
12		2m1e1 9432	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) = 1
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( 2 - 1 ) = 1 )
14	13	oveq1d 6103	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 2 - 1 ) x. ( A / 2 ) ) = ( 1 x. ( A / 2 ) ) )
15	8	mullidd 8351	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 1 x. ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )
16	11, 14, 15	3eqtrd 2275	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) - ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )
17	7, 10, 16	3eqtrd 2275	1 |- ( A e. CC -> ( A - ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   CCcc 8184   0cc0 8186   1c1 8187   x. cmul 8191   - cmin 8505   # cap 8918   / cdiv 9011   2c2 9365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-2 9373

This theorem is used by:  fldiv4lem1div2uz2  10763  gausslemma2dlem1a  16394