Theorem fldiv4lem1div2uz2 10665

Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2uz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9862	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
2		4nn 9400	. . . . 5 |- 4 e. NN
3		znq 9955	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
5	4	flqcld 10636	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. ZZ )
6	5	zred 9699	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
7		eluzelre 9863	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. RR )
8	2	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 4 e. NN )
9	7, 8	nndivred 9286	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N / 4 ) e. RR )
10		peano2rem 8539	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
11	7, 10	syl 14	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. RR )
12	11	rehalfcld 9484	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR )
13		flqle 10637	. . 3 |- ( ( N / 4 ) e. QQ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
14	4, 13	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
15		1red 8288	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
16		zre 9580	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
17		rehalfcl 9464	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( N / 2 ) e. RR )
18	1, 16, 17	3syl 17	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N / 2 ) e. RR )
19		2rp 9990	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
20		eluzle 9865	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ N )
21		divge1 10055	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR+ /\ N e. RR /\ 2 <_ N ) -> 1 <_ ( N / 2 ) )
22	19, 7, 20, 21	mp3an2i 1379	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 <_ ( N / 2 ) )
23		eluzelcn 9864	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. CC )
24		subhalfhalf 9472	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( N - ( N / 2 ) ) = ( N / 2 ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - ( N / 2 ) ) = ( N / 2 ) )
26	22, 25	breqtrrd 4136	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 <_ ( N - ( N / 2 ) ) )
27	15, 7, 18, 26	lesubd 8822	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N / 2 ) <_ ( N - 1 ) )
28		2t2e4 9391	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 2 ) = 4
29	28	eqcomi 2236	. . . . . . . 8 |- 4 = ( 2 x. 2 )
30	29	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 4 = ( 2 x. 2 ) )
31	30	oveq2d 6065	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N / 4 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
32		2cnd 9309	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. CC )
33	19	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. RR+ )
34	33	rpap0d 10034	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 # 0 )
35	23, 32, 32, 34, 34	divdivap1d 9095	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
36	31, 35	eqtr4d 2268	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N / 4 ) = ( ( N / 2 ) / 2 ) )
37	36	breq1d 4118	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N / 4 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) <-> ( ( N / 2 ) / 2 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
38	18, 11, 33	lediv1d 10075	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N / 2 ) <_ ( N - 1 ) <-> ( ( N / 2 ) / 2 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
39	37, 38	bitr4d 191	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N / 4 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) <-> ( N / 2 ) <_ ( N - 1 ) ) )
40	27, 39	mpbird 167	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N / 4 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
41	6, 9, 12, 14, 40	letrd 8396	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   CCcc 8124   RRcr 8125   1c1 8127   x. cmul 8131   <_ cle 8308   - cmin 8443   / cdiv 8945   NNcn 9236   2c2 9287   4c4 9289   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852   QQcq 9950   RR+crp 9985   |_cfl 10627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fl 10629

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  10666  gausslemma2dlem4  15929