ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fldiv4lem1div2uz2 Unicode version

Theorem fldiv4lem1div2uz2 10365
Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4lem1div2uz2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( N  /  4
) )  <_  (
( N  -  1 )  /  2 ) )

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9591 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
2 4nn 9135 . . . . 5  |-  4  e.  NN
3 znq 9679 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( N  /  4
)  e.  QQ )
41, 2, 3sylancl 413 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  /  4 )  e.  QQ )
54flqcld 10336 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( N  /  4
) )  e.  ZZ )
65zred 9429 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( N  /  4
) )  e.  RR )
7 eluzelre 9592 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  RR )
82a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  4  e.  NN )
97, 8nndivred 9022 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  /  4 )  e.  RR )
10 peano2rem 8276 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
117, 10syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
1211rehalfcld 9219 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  RR )
13 flqle 10337 . . 3  |-  ( ( N  /  4 )  e.  QQ  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  <_ 
( N  /  4
) )
144, 13syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( N  /  4
) )  <_  ( N  /  4 ) )
15 1red 8024 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
16 zre 9311 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
17 rehalfcl 9199 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  RR )
181, 16, 173syl 17 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  /  2 )  e.  RR )
19 2rp 9714 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
20 eluzle 9594 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  N )
21 divge1 9779 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  N  e.  RR  /\  2  <_  N )  ->  1  <_  ( N  /  2
) )
2219, 7, 20, 21mp3an2i 1353 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <_  ( N  /  2 ) )
23 eluzelcn 9593 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  CC )
24 subhalfhalf 9207 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  -  ( N  /  2 ) )  =  ( N  / 
2 ) )
2523, 24syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  ( N  / 
2 ) )  =  ( N  /  2
) )
2622, 25breqtrrd 4057 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <_  ( N  -  ( N  /  2 ) ) )
2715, 7, 18, 26lesubd 8558 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  /  2 )  <_ 
( N  -  1 ) )
28 2t2e4 9126 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
2928eqcomi 2197 . . . . . . . 8  |-  4  =  ( 2  x.  2 )
3029a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  4  =  ( 2  x.  2 ) )
3130oveq2d 5926 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  /  4 )  =  ( N  /  (
2  x.  2 ) ) )
32 2cnd 9045 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  CC )
3319a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  RR+ )
3433rpap0d 9758 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2 #  0
)
3523, 32, 32, 34, 34divdivap1d 8831 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  /  2 )  / 
2 )  =  ( N  /  ( 2  x.  2 ) ) )
3631, 35eqtr4d 2229 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  /  4 )  =  ( ( N  / 
2 )  /  2
) )
3736breq1d 4039 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  /  4 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  <->  ( ( N  /  2 )  / 
2 )  <_  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )
3818, 11, 33lediv1d 9799 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  /  2 )  <_ 
( N  -  1 )  <->  ( ( N  /  2 )  / 
2 )  <_  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )
3937, 38bitr4d 191 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  /  4 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  <->  ( N  / 
2 )  <_  ( N  -  1 ) ) )
4027, 39mpbird 167 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  /  4 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) )
416, 9, 12, 14, 40letrd 8133 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( N  /  4
) )  <_  (
( N  -  1 )  /  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   CCcc 7860   RRcr 7861   1c1 7863    x. cmul 7867    <_ cle 8045    - cmin 8180    / cdiv 8681   NNcn 8972   2c2 9023   4c4 9025   ZZcz 9307   ZZ>=cuz 9582   QQcq 9674   RR+crp 9709   |_cfl 10327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980  ax-arch 7981
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-q 9675  df-rp 9710  df-fl 10329
This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  10366  gausslemma2dlem4  15122
  Copyright terms: Public domain W3C validator