Theorem pcprecl 12243

Description: Closure of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	|- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
pclem.2	|- S = sup ( A , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
pcprecl	|- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )

Distinct variable groups:   n, N   P, n

Allowed substitution hints:   A( n)   S( n)

Proof of Theorem pcprecl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pclem.2	. . 3 |- S = sup ( A , RR , < )
2		pclem.1	. . . . . . 7 |- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
3	2	ssrab3 3233	. . . . . 6 |- A C_ NN0
4		nn0ssz 9230	. . . . . 6 |- NN0 C_ ZZ
5	3, 4	sstri 3156	. . . . 5 |- A C_ ZZ
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> A C_ ZZ )
7	2	pclemdc 12242	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
8	2	pclemub 12241	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
9	2	pclem0 12240	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> 0 e. A )
10		elex2 2746	. . . . 5 |- ( 0 e. A -> E. x x e. A )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> E. x x e. A )
12	6, 7, 8, 11	suprzcl2dc 11910	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )
13	1, 12	eqeltrid 2257	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> S e. A )
14		oveq2 5861	. . . 4 |- ( z = S -> ( P ^ z ) = ( P ^ S ) )
15	14	breq1d 3999	. . 3 |- ( z = S -> ( ( P ^ z ) || N <-> ( P ^ S ) || N ) )
16		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( n = z -> ( P ^ n ) = ( P ^ z ) )
17	16	breq1d 3999	. . . . 5 |- ( n = z -> ( ( P ^ n ) || N <-> ( P ^ z ) || N ) )
18	17	cbvrabv 2729	. . . 4 |- { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N } = { z e. NN0 | ( P ^ z ) || N }
19	2, 18	eqtri 2191	. . 3 |- A = { z e. NN0 | ( P ^ z ) || N }
20	15, 19	elrab2 2889	. 2 |- ( S e. A <-> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )
21	13, 20	sylib 121	1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   =/= wne 2340   {crab 2452   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   supcsup 6959   RRcr 7773   0cc0 7774   < clt 7954   2c2 8929   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ^cexp 10475   || cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  pcprendvds  12244  pcprendvds2  12245  pcpre1  12246  pcpremul  12247  pceulem  12248  pceu  12249  pczpre  12251  pczcl  12252  pczdvds  12267