Theorem pcprecl 12612

Description: Closure of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	|- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
pclem.2	|- S = sup ( A , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
pcprecl	|- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )

Distinct variable groups:   n, N   P, n

Allowed substitution hints:   A( n)   S( n)

Proof of Theorem pcprecl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pclem.2	. . 3 |- S = sup ( A , RR , < )
2		pclem.1	. . . . . . 7 |- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
3	2	ssrab3 3279	. . . . . 6 |- A C_ NN0
4		nn0ssz 9390	. . . . . 6 |- NN0 C_ ZZ
5	3, 4	sstri 3202	. . . . 5 |- A C_ ZZ
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> A C_ ZZ )
7	2	pclemdc 12611	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
8	2	pclemub 12610	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
9	2	pclem0 12609	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> 0 e. A )
10		elex2 2788	. . . . 5 |- ( 0 e. A -> E. x x e. A )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> E. x x e. A )
12	6, 7, 8, 11	suprzcl2dc 10382	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )
13	1, 12	eqeltrid 2292	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> S e. A )
14		oveq2 5952	. . . 4 |- ( z = S -> ( P ^ z ) = ( P ^ S ) )
15	14	breq1d 4054	. . 3 |- ( z = S -> ( ( P ^ z ) || N <-> ( P ^ S ) || N ) )
16		oveq2 5952	. . . . . 6 |- ( n = z -> ( P ^ n ) = ( P ^ z ) )
17	16	breq1d 4054	. . . . 5 |- ( n = z -> ( ( P ^ n ) || N <-> ( P ^ z ) || N ) )
18	17	cbvrabv 2771	. . . 4 |- { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N } = { z e. NN0 | ( P ^ z ) || N }
19	2, 18	eqtri 2226	. . 3 |- A = { z e. NN0 | ( P ^ z ) || N }
20	15, 19	elrab2 2932	. 2 |- ( S e. A <-> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )
21	13, 20	sylib 122	1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   =/= wne 2376   {crab 2488   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   supcsup 7084   RRcr 7924   0cc0 7925   < clt 8107   2c2 9087   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   ^cexp 10683   || cdvds 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-fl 10413  df-mod 10468  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-dvds 12099

This theorem is referenced by:  pcprendvds  12613  pcprendvds2  12614  pcpre1  12615  pcpremul  12616  pceulem  12617  pceu  12618  pczpre  12620  pczcl  12621  pczdvds  12637