Theorem suprzcl2dc 10329

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is a member of the set. (This theorem avoids ax-pre-suploc 8000.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzcl2dc.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
suprzcl2dc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
suprzcl2dc.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprzcl2dc.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
suprzcl2dc	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem suprzcl2dc

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzcl2dc.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
2		suprzcl2dc.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3		suprzcl2dc.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
4		suprzcl2dc.ub	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5	1, 2, 3, 4	zsupssdc 10328	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
6	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝐴 ⊆ ℤ)
7		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sseldd 3184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	zred 9448	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		simprrl 539	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
11		simprrr 540	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
12		lttri3 8106	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 < 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 < 𝑢)))
13	12	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 < 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 < 𝑢)))
14	13	eqsupti 7062	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
15	9, 10, 11, 14	mp3and 1351	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥)
16	15, 7	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
17	5, 16	rexlimddv 2619	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033  supcsup 7048  ℝcr 7878   < clt 8061   ≤ cle 8062  ℤcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218

This theorem is referenced by:  pcprecl  12458