Theorem suprzcl2dc 10500

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is a member of the set. (This theorem avoids ax-pre-suploc 8153.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzcl2dc.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
suprzcl2dc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
suprzcl2dc.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprzcl2dc.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
suprzcl2dc	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem suprzcl2dc

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzcl2dc.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
2		suprzcl2dc.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3		suprzcl2dc.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
4		suprzcl2dc.ub	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5	1, 2, 3, 4	zsupssdc 10499	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
6	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝐴 ⊆ ℤ)
7		simprl 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sseldd 3228	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	zred 9602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		simprrl 541	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
11		simprrr 542	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
12		lttri3 8259	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 < 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 < 𝑢)))
13	12	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢 < 𝑣 ∧ ¬ 𝑣 < 𝑢)))
14	13	eqsupti 7195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
15	9, 10, 11, 14	mp3and 1376	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥)
16	15, 7	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
17	5, 16	rexlimddv 2655	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088  supcsup 7181  ℝcr 8031   < clt 8214   ≤ cle 8215  ℤcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378

This theorem is referenced by:  pcprecl  12867