Theorem ublbneg 9615

Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. For a theorem which is similar but also adds that the bounds need to be the tightest possible, see supinfneg 9597. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ublbneg	|- ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )

Distinct variable group:   x, A, y, z

Proof of Theorem ublbneg

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4008	. . . . 5 |- ( b = y -> ( b <_ a <-> y <_ a ) )
2	1	cbvralv 2705	. . . 4 |- ( A. b e. A b <_ a <-> A. y e. A y <_ a )
3	2	rexbii 2484	. . 3 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a <-> E. a e. RR A. y e. A y <_ a )
4		breq2 4009	. . . . 5 |- ( a = x -> ( y <_ a <-> y <_ x ) )
5	4	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( a = x -> ( A. y e. A y <_ a <-> A. y e. A y <_ x ) )
6	5	cbvrexv 2706	. . 3 |- ( E. a e. RR A. y e. A y <_ a <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
7	3, 6	bitri 184	. 2 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
8		renegcl 8220	. . . 4 |- ( a e. RR -> -u a e. RR )
9		elrabi 2892	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> y e. RR )
10		negeq 8152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> -u z = -u y )
11	10	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( -u z e. A <-> -u y e. A ) )
12	11	elrab3 2896	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( y e. { z e. RR | -u z e. A } <-> -u y e. A ) )
13	12	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> -u y e. A ) )
14	9, 13	mpcom 36	. . . . . . . 8 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> -u y e. A )
15		breq1 4008	. . . . . . . . 9 |- ( b = -u y -> ( b <_ a <-> -u y <_ a ) )
16	15	rspcv 2839	. . . . . . . 8 |- ( -u y e. A -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
18	17	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
19		lenegcon1 8425	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u a <_ y <-> -u y <_ a ) )
20	9, 19	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( -u a <_ y <-> -u y <_ a ) )
21	18, 20	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( A. b e. A b <_ a -> -u a <_ y ) )
22	21	ralrimdva 2557	. . . 4 |- ( a e. RR -> ( A. b e. A b <_ a -> A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) )
23		breq1 4008	. . . . . 6 |- ( x = -u a -> ( x <_ y <-> -u a <_ y ) )
24	23	ralbidv 2477	. . . . 5 |- ( x = -u a -> ( A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y <-> A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) )
25	24	rspcev 2843	. . . 4 |- ( ( -u a e. RR /\ A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )
26	8, 22, 25	syl6an 1434	. . 3 |- ( a e. RR -> ( A. b e. A b <_ a -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y ) )
27	26	rexlimiv 2588	. 2 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )
28	7, 27	sylbir 135	1 |- ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   class class class wbr 4005   RRcr 7812   <_ cle 7995   -ucneg 8131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133

This theorem is referenced by: (None)