Theorem ublbneg 9769

Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. For a theorem which is similar but also adds that the bounds need to be the tightest possible, see supinfneg 9751. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ublbneg	|- ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )

Distinct variable group:   x, A, y, z

Proof of Theorem ublbneg

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4062	. . . . 5 |- ( b = y -> ( b <_ a <-> y <_ a ) )
2	1	cbvralv 2742	. . . 4 |- ( A. b e. A b <_ a <-> A. y e. A y <_ a )
3	2	rexbii 2515	. . 3 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a <-> E. a e. RR A. y e. A y <_ a )
4		breq2 4063	. . . . 5 |- ( a = x -> ( y <_ a <-> y <_ x ) )
5	4	ralbidv 2508	. . . 4 |- ( a = x -> ( A. y e. A y <_ a <-> A. y e. A y <_ x ) )
6	5	cbvrexv 2743	. . 3 |- ( E. a e. RR A. y e. A y <_ a <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
7	3, 6	bitri 184	. 2 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
8		renegcl 8368	. . . 4 |- ( a e. RR -> -u a e. RR )
9		elrabi 2933	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> y e. RR )
10		negeq 8300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> -u z = -u y )
11	10	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( -u z e. A <-> -u y e. A ) )
12	11	elrab3 2937	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( y e. { z e. RR | -u z e. A } <-> -u y e. A ) )
13	12	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> -u y e. A ) )
14	9, 13	mpcom 36	. . . . . . . 8 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> -u y e. A )
15		breq1 4062	. . . . . . . . 9 |- ( b = -u y -> ( b <_ a <-> -u y <_ a ) )
16	15	rspcv 2880	. . . . . . . 8 |- ( -u y e. A -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
18	17	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
19		lenegcon1 8574	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u a <_ y <-> -u y <_ a ) )
20	9, 19	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( -u a <_ y <-> -u y <_ a ) )
21	18, 20	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( A. b e. A b <_ a -> -u a <_ y ) )
22	21	ralrimdva 2588	. . . 4 |- ( a e. RR -> ( A. b e. A b <_ a -> A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) )
23		breq1 4062	. . . . . 6 |- ( x = -u a -> ( x <_ y <-> -u a <_ y ) )
24	23	ralbidv 2508	. . . . 5 |- ( x = -u a -> ( A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y <-> A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) )
25	24	rspcev 2884	. . . 4 |- ( ( -u a e. RR /\ A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )
26	8, 22, 25	syl6an 1454	. . 3 |- ( a e. RR -> ( A. b e. A b <_ a -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y ) )
27	26	rexlimiv 2619	. 2 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )
28	7, 27	sylbir 135	1 |- ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   {crab 2490   class class class wbr 4059   RRcr 7959   <_ cle 8143   -ucneg 8279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281

This theorem is referenced by: (None)