Theorem ublbneg 9945

Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. For a theorem which is similar but also adds that the bounds need to be the tightest possible, see supinfneg 9927. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ublbneg	|- ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )

Distinct variable group:   x, A, y, z

Proof of Theorem ublbneg

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4112	. . . . 5 |- ( b = y -> ( b <_ a <-> y <_ a ) )
2	1	cbvralv 2778	. . . 4 |- ( A. b e. A b <_ a <-> A. y e. A y <_ a )
3	2	rexbii 2549	. . 3 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a <-> E. a e. RR A. y e. A y <_ a )
4		breq2 4113	. . . . 5 |- ( a = x -> ( y <_ a <-> y <_ x ) )
5	4	ralbidv 2542	. . . 4 |- ( a = x -> ( A. y e. A y <_ a <-> A. y e. A y <_ x ) )
6	5	cbvrexv 2779	. . 3 |- ( E. a e. RR A. y e. A y <_ a <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
7	3, 6	bitri 184	. 2 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
8		renegcl 8534	. . . 4 |- ( a e. RR -> -u a e. RR )
9		elrabi 2970	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> y e. RR )
10		negeq 8466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> -u z = -u y )
11	10	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( -u z e. A <-> -u y e. A ) )
12	11	elrab3 2974	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( y e. { z e. RR | -u z e. A } <-> -u y e. A ) )
13	12	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> -u y e. A ) )
14	9, 13	mpcom 36	. . . . . . . 8 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> -u y e. A )
15		breq1 4112	. . . . . . . . 9 |- ( b = -u y -> ( b <_ a <-> -u y <_ a ) )
16	15	rspcv 2917	. . . . . . . 8 |- ( -u y e. A -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
18	17	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
19		lenegcon1 8740	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u a <_ y <-> -u y <_ a ) )
20	9, 19	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( -u a <_ y <-> -u y <_ a ) )
21	18, 20	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( A. b e. A b <_ a -> -u a <_ y ) )
22	21	ralrimdva 2622	. . . 4 |- ( a e. RR -> ( A. b e. A b <_ a -> A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) )
23		breq1 4112	. . . . . 6 |- ( x = -u a -> ( x <_ y <-> -u a <_ y ) )
24	23	ralbidv 2542	. . . . 5 |- ( x = -u a -> ( A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y <-> A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) )
25	24	rspcev 2921	. . . 4 |- ( ( -u a e. RR /\ A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )
26	8, 22, 25	syl6an 1479	. . 3 |- ( a e. RR -> ( A. b e. A b <_ a -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y ) )
27	26	rexlimiv 2654	. 2 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )
28	7, 27	sylbir 135	1 |- ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   class class class wbr 4109   RRcr 8126   <_ cle 8309   -ucneg 8445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447

This theorem is referenced by: (None)