Theorem ublbneg 10013

Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. For a theorem which is similar but also adds that the bounds need to be the tightest possible, see supinfneg 9995. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ublbneg	|- ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )

Distinct variable group:   x, A, y, z

Proof of Theorem ublbneg

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4133	. . . . 5 |- ( b = y -> ( b <_ a <-> y <_ a ) )
2	1	cbvralv 2786	. . . 4 |- ( A. b e. A b <_ a <-> A. y e. A y <_ a )
3	2	rexbii 2557	. . 3 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a <-> E. a e. RR A. y e. A y <_ a )
4		breq2 4134	. . . . 5 |- ( a = x -> ( y <_ a <-> y <_ x ) )
5	4	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( a = x -> ( A. y e. A y <_ a <-> A. y e. A y <_ x ) )
6	5	cbvrexv 2787	. . 3 |- ( E. a e. RR A. y e. A y <_ a <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
7	3, 6	bitri 184	. 2 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
8		renegcl 8587	. . . 4 |- ( a e. RR -> -u a e. RR )
9		elrabi 2979	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> y e. RR )
10		negeq 8519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> -u z = -u y )
11	10	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( -u z e. A <-> -u y e. A ) )
12	11	elrab3 2983	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( y e. { z e. RR | -u z e. A } <-> -u y e. A ) )
13	12	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> -u y e. A ) )
14	9, 13	mpcom 36	. . . . . . . 8 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> -u y e. A )
15		breq1 4133	. . . . . . . . 9 |- ( b = -u y -> ( b <_ a <-> -u y <_ a ) )
16	15	rspcv 2925	. . . . . . . 8 |- ( -u y e. A -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
18	17	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
19		lenegcon1 8794	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u a <_ y <-> -u y <_ a ) )
20	9, 19	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( -u a <_ y <-> -u y <_ a ) )
21	18, 20	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( A. b e. A b <_ a -> -u a <_ y ) )
22	21	ralrimdva 2630	. . . 4 |- ( a e. RR -> ( A. b e. A b <_ a -> A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) )
23		breq1 4133	. . . . . 6 |- ( x = -u a -> ( x <_ y <-> -u a <_ y ) )
24	23	ralbidv 2550	. . . . 5 |- ( x = -u a -> ( A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y <-> A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) )
25	24	rspcev 2929	. . . 4 |- ( ( -u a e. RR /\ A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )
26	8, 22, 25	syl6an 1483	. . 3 |- ( a e. RR -> ( A. b e. A b <_ a -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y ) )
27	26	rexlimiv 2662	. 2 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )
28	7, 27	sylbir 135	1 |- ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   class class class wbr 4130   RRcr 8178   <_ cle 8361   -ucneg 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500

This theorem is used by: (None)