Theorem umgr2edg 16653

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there are more than one edges starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	|- I = (iEdg ` G )
usgrf1oedg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgr2edg	|- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, A, y   x, B, y   y, G   x, I, y   x, N, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem umgr2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 16559	. . . 4 |- ( G e. UMGraph -> G e. UHGraph )
2	1	anim1i 340	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) -> ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) )
4		eqid 2238	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
5		usgrf1oedg.e	. . . . 5 |- E = (Edg ` G )
6	4, 5	umgrpredgv 16593	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ { N , A } e. E ) -> ( N e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) )
7	6	ad2ant2r 513	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( N e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) )
8	7	simprd 114	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> A e. (Vtx ` G ) )
9	4, 5	umgrpredgv 16593	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ { B , N } e. E ) -> ( B e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) )
10	9	ad2ant2rl 515	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( B e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) )
11	10	simpld 112	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> B e. (Vtx ` G ) )
12	7	simpld 112	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> N e. (Vtx ` G ) )
13		simpr 110	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) )
14		usgrf1oedg.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
15	14, 5, 4	uhgr2edg 16652	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. (Vtx ` G ) /\ B e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )
16	3, 8, 11, 12, 13, 15	syl131anc 1291	1 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   E.wrex 2529   {cpr 3710   dom cdm 4776   ` cfv 5380  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  Edgcedg 16503  UHGraphcuhgr 16513  UMGraphcumgr 16538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-sub 8506  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-dec 9789  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-edg 16504  df-uhgrm 16515  df-upgren 16539  df-umgren 16540

This theorem is used by:  usgr2edg  16654  umgr2edg1  16655