Theorem umgr2edg 16021

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there are more than one edges starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	|- I = (iEdg ` G )
usgrf1oedg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgr2edg	|- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, A, y   x, B, y   y, G   x, I, y   x, N, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem umgr2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 15929	. . . 4 |- ( G e. UMGraph -> G e. UHGraph )
2	1	anim1i 340	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) -> ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) )
4		eqid 2229	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
5		usgrf1oedg.e	. . . . 5 |- E = (Edg ` G )
6	4, 5	umgrpredgv 15961	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ { N , A } e. E ) -> ( N e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) )
7	6	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( N e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) )
8	7	simprd 114	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> A e. (Vtx ` G ) )
9	4, 5	umgrpredgv 15961	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ { B , N } e. E ) -> ( B e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) )
10	9	ad2ant2rl 511	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( B e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) )
11	10	simpld 112	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> B e. (Vtx ` G ) )
12	7	simpld 112	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> N e. (Vtx ` G ) )
13		simpr 110	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) )
14		usgrf1oedg.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
15	14, 5, 4	uhgr2edg 16020	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. (Vtx ` G ) /\ B e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )
16	3, 8, 11, 12, 13, 15	syl131anc 1284	1 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   E.wrex 2509   {cpr 3667   dom cdm 4719   ` cfv 5318  Vtxcvtx 15829  iEdgciedg 15830  Edgcedg 15874  UHGraphcuhgr 15883  UMGraphcumgr 15908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-sub 8330  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-dec 9590  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-edgf 15822  df-vtx 15831  df-iedg 15832  df-edg 15875  df-uhgrm 15885  df-upgren 15909  df-umgren 15910

This theorem is referenced by:  usgr2edg  16022  umgr2edg1  16023