Theorem umgr2edg 15962

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there are more than one edges starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	|- I = (iEdg ` G )
usgrf1oedg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgr2edg	|- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, A, y   x, B, y   y, G   x, I, y   x, N, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem umgr2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 15870	. . . 4 |- ( G e. UMGraph -> G e. UHGraph )
2	1	anim1i 340	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) -> ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) )
4		eqid 2207	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
5		usgrf1oedg.e	. . . . 5 |- E = (Edg ` G )
6	4, 5	umgrpredgv 15902	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ { N , A } e. E ) -> ( N e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) )
7	6	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( N e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) )
8	7	simprd 114	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> A e. (Vtx ` G ) )
9	4, 5	umgrpredgv 15902	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ { B , N } e. E ) -> ( B e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) )
10	9	ad2ant2rl 511	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( B e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) )
11	10	simpld 112	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> B e. (Vtx ` G ) )
12	7	simpld 112	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> N e. (Vtx ` G ) )
13		simpr 110	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) )
14		usgrf1oedg.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
15	14, 5, 4	uhgr2edg 15961	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. (Vtx ` G ) /\ B e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )
16	3, 8, 11, 12, 13, 15	syl131anc 1263	1 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   E.wrex 2487   {cpr 3645   dom cdm 4694   ` cfv 5291  Vtxcvtx 15772  iEdgciedg 15773  Edgcedg 15815  UHGraphcuhgr 15824  UMGraphcumgr 15849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-cnre 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-iord 4432  df-on 4434  df-suc 4437  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-1o 6527  df-2o 6528  df-er 6645  df-en 6853  df-sub 8282  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-7 9137  df-8 9138  df-9 9139  df-n0 9333  df-dec 9542  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-edgf 15765  df-vtx 15774  df-iedg 15775  df-edg 15816  df-uhgrm 15826  df-upgren 15850  df-umgren 15851

This theorem is referenced by:  usgr2edg  15963  umgr2edg1  15964