Theorem umgrpredgv 15821

Description: An edge of a multigraph always connects two vertices. This theorem does not hold for arbitrary pseudographs: if either M or N is a proper class, then { M , N } e. E could still hold ( { M , N } would be either { M } or { N }, see prprc1 3746 or prprc2 3747, i.e. a loop), but M e. V or N e. V would not be true. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	|- V = (Vtx ` G )
upgredg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgrpredgv	|- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )

Proof of Theorem umgrpredgv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
2	1	eleq2i 2273	. . . . 5 |- ( { M , N } e. E <-> { M , N } e. (Edg ` G ) )
3		edgumgren 15816	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. (Edg ` G ) ) -> ( { M , N } e. ~P (Vtx ` G ) /\ { M , N } ~~ 2o ) )
4	2, 3	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( { M , N } e. ~P (Vtx ` G ) /\ { M , N } ~~ 2o ) )
5	4	simpld 112	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> { M , N } e. ~P (Vtx ` G ) )
6		upgredg.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
7	6	eqcomi 2210	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = V
8	7	pweqi 3625	. . 3 |- ~P (Vtx ` G ) = ~P V
9	5, 8	eleqtrdi 2299	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> { M , N } e. ~P V )
10		pr2cv 7326	. . . . . 6 |- ( { M , N } ~~ 2o -> ( M e. _V /\ N e. _V ) )
11	4, 10	simpl2im 386	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( M e. _V /\ N e. _V ) )
12	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> M e. _V )
13		prid1g 3742	. . . 4 |- ( M e. _V -> M e. { M , N } )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> M e. { M , N } )
15		prid2g 3743	. . . 4 |- ( N e. _V -> N e. { M , N } )
16	11, 15	simpl2im 386	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> N e. { M , N } )
17		prelpw 4270	. . 3 |- ( ( M e. { M , N } /\ N e. { M , N } ) -> ( ( M e. V /\ N e. V ) <-> { M , N } e. ~P V ) )
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( ( M e. V /\ N e. V ) <-> { M , N } e. ~P V ) )
19	9, 18	mpbird 167	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   ~Pcpw 3621   {cpr 3639   class class class wbr 4054   ` cfv 5285   2oc2o 6514   ~~ cen 6843  Vtxcvtx 15696  Edgcedg 15739  UMGraphcumgr 15773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-suc 4431  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-1o 6520  df-2o 6521  df-er 6638  df-en 6846  df-sub 8275  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-7 9130  df-8 9131  df-9 9132  df-n0 9326  df-dec 9535  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-edgf 15689  df-vtx 15698  df-iedg 15699  df-edg 15740  df-umgren 15775

This theorem is referenced by:  umgrnloop2  15825