Theorem umgrpredgv 16071

Description: An edge of a multigraph always connects two vertices. This theorem does not hold for arbitrary pseudographs: if either M or N is a proper class, then { M , N } e. E could still hold ( { M , N } would be either { M } or { N }, see prprc1 3784 or prprc2 3785, i.e. a loop), but M e. V or N e. V would not be true. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	|- V = (Vtx ` G )
upgredg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgrpredgv	|- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )

Proof of Theorem umgrpredgv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
2	1	eleq2i 2298	. . . . 5 |- ( { M , N } e. E <-> { M , N } e. (Edg ` G ) )
3		edgumgren 16066	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. (Edg ` G ) ) -> ( { M , N } e. ~P (Vtx ` G ) /\ { M , N } ~~ 2o ) )
4	2, 3	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( { M , N } e. ~P (Vtx ` G ) /\ { M , N } ~~ 2o ) )
5	4	simpld 112	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> { M , N } e. ~P (Vtx ` G ) )
6		upgredg.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
7	6	eqcomi 2235	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = V
8	7	pweqi 3660	. . 3 |- ~P (Vtx ` G ) = ~P V
9	5, 8	eleqtrdi 2324	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> { M , N } e. ~P V )
10		pr2cv 7445	. . . . . 6 |- ( { M , N } ~~ 2o -> ( M e. _V /\ N e. _V ) )
11	4, 10	simpl2im 386	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( M e. _V /\ N e. _V ) )
12	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> M e. _V )
13		prid1g 3779	. . . 4 |- ( M e. _V -> M e. { M , N } )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> M e. { M , N } )
15		prid2g 3780	. . . 4 |- ( N e. _V -> N e. { M , N } )
16	11, 15	simpl2im 386	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> N e. { M , N } )
17		prelpw 4311	. . 3 |- ( ( M e. { M , N } /\ N e. { M , N } ) -> ( ( M e. V /\ N e. V ) <-> { M , N } e. ~P V ) )
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( ( M e. V /\ N e. V ) <-> { M , N } e. ~P V ) )
19	9, 18	mpbird 167	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   ~Pcpw 3656   {cpr 3674   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   2oc2o 6619   ~~ cen 6950  Vtxcvtx 15936  Edgcedg 15981  UMGraphcumgr 16016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-sub 8394  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-dec 9656  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-edg 15982  df-umgren 16018

This theorem is referenced by:  umgrnloop2  16075  usgrpredgv  16122  umgr2edg  16131  umgrvad2edg  16135