Theorem umgrpredgv 15939

Description: An edge of a multigraph always connects two vertices. This theorem does not hold for arbitrary pseudographs: if either M or N is a proper class, then { M , N } e. E could still hold ( { M , N } would be either { M } or { N }, see prprc1 3774 or prprc2 3775, i.e. a loop), but M e. V or N e. V would not be true. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	|- V = (Vtx ` G )
upgredg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgrpredgv	|- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )

Proof of Theorem umgrpredgv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
2	1	eleq2i 2296	. . . . 5 |- ( { M , N } e. E <-> { M , N } e. (Edg ` G ) )
3		edgumgren 15934	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. (Edg ` G ) ) -> ( { M , N } e. ~P (Vtx ` G ) /\ { M , N } ~~ 2o ) )
4	2, 3	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( { M , N } e. ~P (Vtx ` G ) /\ { M , N } ~~ 2o ) )
5	4	simpld 112	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> { M , N } e. ~P (Vtx ` G ) )
6		upgredg.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
7	6	eqcomi 2233	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = V
8	7	pweqi 3653	. . 3 |- ~P (Vtx ` G ) = ~P V
9	5, 8	eleqtrdi 2322	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> { M , N } e. ~P V )
10		pr2cv 7366	. . . . . 6 |- ( { M , N } ~~ 2o -> ( M e. _V /\ N e. _V ) )
11	4, 10	simpl2im 386	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( M e. _V /\ N e. _V ) )
12	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> M e. _V )
13		prid1g 3770	. . . 4 |- ( M e. _V -> M e. { M , N } )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> M e. { M , N } )
15		prid2g 3771	. . . 4 |- ( N e. _V -> N e. { M , N } )
16	11, 15	simpl2im 386	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> N e. { M , N } )
17		prelpw 4298	. . 3 |- ( ( M e. { M , N } /\ N e. { M , N } ) -> ( ( M e. V /\ N e. V ) <-> { M , N } e. ~P V ) )
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( ( M e. V /\ N e. V ) <-> { M , N } e. ~P V ) )
19	9, 18	mpbird 167	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ { M , N } e. E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   ~Pcpw 3649   {cpr 3667   class class class wbr 4082   ` cfv 5317   2oc2o 6554   ~~ cen 6883  Vtxcvtx 15807  Edgcedg 15852  UMGraphcumgr 15886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-1o 6560  df-2o 6561  df-er 6678  df-en 6886  df-sub 8315  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-dec 9575  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-edgf 15800  df-vtx 15809  df-iedg 15810  df-edg 15853  df-umgren 15888

This theorem is referenced by:  umgrnloop2  15943  usgrpredgv  15990  umgr2edg  15999  umgrvad2edg  16003