Theorem umgr2edg1 16007

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	|- I = (iEdg ` G )
usgrf1oedg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgr2edg1	|- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. E! x e. dom I N e. ( I ` x ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, A   x, B   x, I   x, N

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem umgr2edg1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrf1oedg.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
2		usgrf1oedg.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
3	1, 2	umgr2edg 16005	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )
4		3anrot 1007	. . . . . . 7 |- ( ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) <-> ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) /\ x =/= y ) )
5		df-ne 2401	. . . . . . . 8 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
6	5	3anbi3i 1216	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) /\ x =/= y ) <-> ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) /\ -. x = y ) )
7		df-3an 1004	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) /\ -. x = y ) <-> ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) /\ -. x = y ) )
8	4, 6, 7	3bitri 206	. . . . . 6 |- ( ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) <-> ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) /\ -. x = y ) )
9	8	2rexbii 2539	. . . . 5 |- ( E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) <-> E. x e. dom I E. y e. dom I ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) /\ -. x = y ) )
10	3, 9	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) /\ -. x = y ) )
11		rexanaliim 2636	. . . . 5 |- ( E. y e. dom I ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) /\ -. x = y ) -> -. A. y e. dom I ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) -> x = y ) )
12	11	reximi 2627	. . . 4 |- ( E. x e. dom I E. y e. dom I ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) /\ -. x = y ) -> E. x e. dom I -. A. y e. dom I ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) -> x = y ) )
13		rexnalim 2519	. . . 4 |- ( E. x e. dom I -. A. y e. dom I ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) -> x = y ) -> -. A. x e. dom I A. y e. dom I ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) -> x = y ) )
14	10, 12, 13	3syl 17	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. A. x e. dom I A. y e. dom I ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) -> x = y ) )
15	14	intnand 936	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. ( E. x e. dom I N e. ( I ` x ) /\ A. x e. dom I A. y e. dom I ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) -> x = y ) ) )
16		fveq2 5627	. . . 4 |- ( x = y -> ( I ` x ) = ( I ` y ) )
17	16	eleq2d 2299	. . 3 |- ( x = y -> ( N e. ( I ` x ) <-> N e. ( I ` y ) ) )
18	17	reu4 2997	. 2 |- ( E! x e. dom I N e. ( I ` x ) <-> ( E. x e. dom I N e. ( I ` x ) /\ A. x e. dom I A. y e. dom I ( ( N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) -> x = y ) ) )
19	15, 18	sylnibr 681	1 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. E! x e. dom I N e. ( I ` x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   E!wreu 2510   {cpr 3667   dom cdm 4719   ` cfv 5318  iEdgciedg 15814  Edgcedg 15858  UMGraphcumgr 15892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-1o 6562  df-2o 6563  df-er 6680  df-en 6888  df-sub 8319  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-dec 9579  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-edgf 15806  df-vtx 15815  df-iedg 15816  df-edg 15859  df-uhgrm 15869  df-upgren 15893  df-umgren 15894

This theorem is referenced by:  usgr2edg1  16008