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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > isumsplit | Unicode version |
Description: Split off the first ![]() |
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isumsplit.1 |
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isumsplit.2 |
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isumsplit.3 |
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isumsplit.4 |
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isumsplit.5 |
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isumsplit.6 |
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Ref | Expression |
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isumsplit |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | isumsplit.1 |
. 2
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2 | isumsplit.3 |
. . . 4
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3 | 2, 1 | eleqtrdi 2270 |
. . 3
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4 | eluzel2 9532 |
. . 3
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5 | 3, 4 | syl 14 |
. 2
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6 | isumsplit.4 |
. 2
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7 | isumsplit.5 |
. 2
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8 | isumsplit.2 |
. . 3
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9 | eluzelz 9536 |
. . . 4
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10 | 3, 9 | syl 14 |
. . 3
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11 | uzss 9547 |
. . . . . . . 8
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12 | 3, 11 | syl 14 |
. . . . . . 7
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13 | 12, 8, 1 | 3sstr4g 3198 |
. . . . . 6
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14 | 13 | sselda 3155 |
. . . . 5
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15 | 14, 6 | syldan 282 |
. . . 4
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16 | 14, 7 | syldan 282 |
. . . 4
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17 | isumsplit.6 |
. . . . 5
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18 | 6, 7 | eqeltrd 2254 |
. . . . . 6
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19 | 1, 2, 18 | iserex 11346 |
. . . . 5
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20 | 17, 19 | mpbid 147 |
. . . 4
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21 | 8, 10, 15, 16, 20 | isumclim2 11429 |
. . 3
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22 | peano2zm 9290 |
. . . . . 6
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23 | 10, 22 | syl 14 |
. . . . 5
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24 | 5, 23 | fzfigd 10430 |
. . . 4
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25 | elfzuz 10020 |
. . . . . 6
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26 | 25, 1 | eleqtrrdi 2271 |
. . . . 5
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27 | 26, 7 | sylan2 286 |
. . . 4
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28 | 24, 27 | fsumcl 11407 |
. . 3
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29 | 14, 18 | syldan 282 |
. . . . 5
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30 | 8, 10, 29 | serf 10473 |
. . . 4
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31 | 30 | ffvelcdmda 5651 |
. . 3
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32 | 5 | zred 9374 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 32 | ltm1d 8888 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | peano2zm 9290 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 5, 34 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | fzn 10041 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | 5, 35, 36 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 33, 37 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | sumeq1d 11373 |
. . . . . . . . 9
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40 | 39 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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41 | sum0 11395 |
. . . . . . . 8
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42 | 40, 41 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . 7
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43 | 42 | oveq1d 5889 |
. . . . . 6
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44 | 13 | sselda 3155 |
. . . . . . . 8
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45 | 1, 5, 18 | serf 10473 |
. . . . . . . . 9
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46 | 45 | ffvelcdmda 5651 |
. . . . . . . 8
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47 | 44, 46 | syldan 282 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | addid2d 8106 |
. . . . . 6
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49 | 43, 48 | eqtr2d 2211 |
. . . . 5
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50 | oveq1 5881 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . 8
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52 | 51 | sumeq1d 11373 |
. . . . . . 7
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53 | seqeq1 10447 |
. . . . . . . 8
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54 | 53 | fveq1d 5517 |
. . . . . . 7
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55 | 52, 54 | oveq12d 5892 |
. . . . . 6
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56 | 55 | eqeq2d 2189 |
. . . . 5
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57 | 49, 56 | syl5ibrcom 157 |
. . . 4
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58 | addcl 7935 |
. . . . . . . 8
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59 | 58 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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60 | addass 7940 |
. . . . . . . 8
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61 | 60 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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62 | simplr 528 |
. . . . . . . 8
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63 | simpll 527 |
. . . . . . . . . . 11
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64 | 10 | zcnd 9375 |
. . . . . . . . . . . . 13
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65 | ax-1cn 7903 |
. . . . . . . . . . . . 13
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66 | npcan 8165 |
. . . . . . . . . . . . 13
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67 | 64, 65, 66 | sylancl 413 |
. . . . . . . . . . . 12
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68 | 67 | eqcomd 2183 |
. . . . . . . . . . 11
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69 | 63, 68 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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70 | 69 | fveq2d 5519 |
. . . . . . . . 9
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71 | 8, 70 | eqtrid 2222 |
. . . . . . . 8
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72 | 62, 71 | eleqtrd 2256 |
. . . . . . 7
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73 | 5 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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74 | eluzp1m1 9550 |
. . . . . . . 8
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75 | 73, 74 | sylan 283 |
. . . . . . 7
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76 | 1 | eleq2i 2244 |
. . . . . . . . . 10
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77 | 76, 6 | sylan2br 288 |
. . . . . . . . 9
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78 | 63, 77 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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79 | 76, 7 | sylan2br 288 |
. . . . . . . . 9
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80 | 63, 79 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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81 | 78, 80 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . 7
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82 | 59, 61, 72, 75, 81 | seq3split 10478 |
. . . . . 6
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83 | 78, 75, 80 | fsum3ser 11404 |
. . . . . . 7
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84 | 69 | seqeq1d 10450 |
. . . . . . . 8
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85 | 84 | fveq1d 5517 |
. . . . . . 7
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86 | 83, 85 | oveq12d 5892 |
. . . . . 6
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87 | 82, 86 | eqtr4d 2213 |
. . . . 5
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88 | 87 | ex 115 |
. . . 4
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89 | uzp1 9560 |
. . . . . 6
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90 | 3, 89 | syl 14 |
. . . . 5
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91 | 90 | adantr 276 |
. . . 4
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92 | 57, 88, 91 | mpjaod 718 |
. . 3
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93 | 8, 10, 21, 28, 17, 31, 92 | climaddc2 11337 |
. 2
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94 | 1, 5, 6, 7, 93 | isumclim 11428 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929 ax-caucvg 7930 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-isom 5225 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-irdg 6370 df-frec 6391 df-1o 6416 df-oadd 6420 df-er 6534 df-en 6740 df-dom 6741 df-fin 6742 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-xr 7995 df-ltxr 7996 df-le 7997 df-sub 8129 df-neg 8130 df-reap 8531 df-ap 8538 df-div 8629 df-inn 8919 df-2 8977 df-3 8978 df-4 8979 df-n0 9176 df-z 9253 df-uz 9528 df-q 9619 df-rp 9653 df-fz 10008 df-fzo 10142 df-seqfrec 10445 df-exp 10519 df-ihash 10755 df-cj 10850 df-re 10851 df-im 10852 df-rsqrt 11006 df-abs 11007 df-clim 11286 df-sumdc 11361 |
This theorem is referenced by: isum1p 11499 geolim2 11519 mertenslem2 11543 mertensabs 11544 effsumlt 11699 eirraplem 11783 trilpolemeq1 14758 trilpolemlt1 14759 nconstwlpolemgt0 14781 |
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