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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > isumsplit | Unicode version |
Description: Split off the first ![]() |
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isumsplit.1 |
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isumsplit.2 |
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isumsplit.3 |
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isumsplit.4 |
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isumsplit.5 |
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isumsplit.6 |
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Ref | Expression |
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isumsplit |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | isumsplit.1 |
. 2
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2 | isumsplit.3 |
. . . 4
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3 | 2, 1 | eleqtrdi 2233 |
. . 3
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4 | eluzel2 9355 |
. . 3
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5 | 3, 4 | syl 14 |
. 2
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6 | isumsplit.4 |
. 2
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7 | isumsplit.5 |
. 2
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8 | isumsplit.2 |
. . 3
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9 | eluzelz 9359 |
. . . 4
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10 | 3, 9 | syl 14 |
. . 3
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11 | uzss 9370 |
. . . . . . . 8
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12 | 3, 11 | syl 14 |
. . . . . . 7
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13 | 12, 8, 1 | 3sstr4g 3145 |
. . . . . 6
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14 | 13 | sselda 3102 |
. . . . 5
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15 | 14, 6 | syldan 280 |
. . . 4
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16 | 14, 7 | syldan 280 |
. . . 4
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17 | isumsplit.6 |
. . . . 5
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18 | 6, 7 | eqeltrd 2217 |
. . . . . 6
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19 | 1, 2, 18 | iserex 11140 |
. . . . 5
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20 | 17, 19 | mpbid 146 |
. . . 4
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21 | 8, 10, 15, 16, 20 | isumclim2 11223 |
. . 3
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22 | peano2zm 9116 |
. . . . . 6
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23 | 10, 22 | syl 14 |
. . . . 5
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24 | 5, 23 | fzfigd 10235 |
. . . 4
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25 | elfzuz 9833 |
. . . . . 6
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26 | 25, 1 | eleqtrrdi 2234 |
. . . . 5
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27 | 26, 7 | sylan2 284 |
. . . 4
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28 | 24, 27 | fsumcl 11201 |
. . 3
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29 | 14, 18 | syldan 280 |
. . . . 5
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30 | 8, 10, 29 | serf 10278 |
. . . 4
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31 | 30 | ffvelrnda 5563 |
. . 3
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32 | 5 | zred 9197 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 32 | ltm1d 8714 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | peano2zm 9116 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 5, 34 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | fzn 9853 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | 5, 35, 36 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 33, 37 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | sumeq1d 11167 |
. . . . . . . . 9
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40 | 39 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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41 | sum0 11189 |
. . . . . . . 8
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42 | 40, 41 | eqtrdi 2189 |
. . . . . . 7
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43 | 42 | oveq1d 5797 |
. . . . . 6
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44 | 13 | sselda 3102 |
. . . . . . . 8
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45 | 1, 5, 18 | serf 10278 |
. . . . . . . . 9
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46 | 45 | ffvelrnda 5563 |
. . . . . . . 8
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47 | 44, 46 | syldan 280 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | addid2d 7936 |
. . . . . 6
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49 | 43, 48 | eqtr2d 2174 |
. . . . 5
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50 | oveq1 5789 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50 | oveq2d 5798 |
. . . . . . . 8
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52 | 51 | sumeq1d 11167 |
. . . . . . 7
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53 | seqeq1 10252 |
. . . . . . . 8
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54 | 53 | fveq1d 5431 |
. . . . . . 7
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55 | 52, 54 | oveq12d 5800 |
. . . . . 6
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56 | 55 | eqeq2d 2152 |
. . . . 5
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57 | 49, 56 | syl5ibrcom 156 |
. . . 4
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58 | addcl 7769 |
. . . . . . . 8
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59 | 58 | adantl 275 |
. . . . . . 7
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60 | addass 7774 |
. . . . . . . 8
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61 | 60 | adantl 275 |
. . . . . . 7
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62 | simplr 520 |
. . . . . . . 8
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63 | simpll 519 |
. . . . . . . . . . 11
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64 | 10 | zcnd 9198 |
. . . . . . . . . . . . 13
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65 | ax-1cn 7737 |
. . . . . . . . . . . . 13
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66 | npcan 7995 |
. . . . . . . . . . . . 13
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67 | 64, 65, 66 | sylancl 410 |
. . . . . . . . . . . 12
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68 | 67 | eqcomd 2146 |
. . . . . . . . . . 11
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69 | 63, 68 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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70 | 69 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . 9
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71 | 8, 70 | syl5eq 2185 |
. . . . . . . 8
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72 | 62, 71 | eleqtrd 2219 |
. . . . . . 7
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73 | 5 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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74 | eluzp1m1 9373 |
. . . . . . . 8
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75 | 73, 74 | sylan 281 |
. . . . . . 7
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76 | 1 | eleq2i 2207 |
. . . . . . . . . 10
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77 | 76, 6 | sylan2br 286 |
. . . . . . . . 9
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78 | 63, 77 | sylan 281 |
. . . . . . . 8
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79 | 76, 7 | sylan2br 286 |
. . . . . . . . 9
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80 | 63, 79 | sylan 281 |
. . . . . . . 8
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81 | 78, 80 | eqeltrd 2217 |
. . . . . . 7
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82 | 59, 61, 72, 75, 81 | seq3split 10283 |
. . . . . 6
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83 | 78, 75, 80 | fsum3ser 11198 |
. . . . . . 7
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84 | 69 | seqeq1d 10255 |
. . . . . . . 8
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85 | 84 | fveq1d 5431 |
. . . . . . 7
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86 | 83, 85 | oveq12d 5800 |
. . . . . 6
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87 | 82, 86 | eqtr4d 2176 |
. . . . 5
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88 | 87 | ex 114 |
. . . 4
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89 | uzp1 9383 |
. . . . . 6
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90 | 3, 89 | syl 14 |
. . . . 5
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91 | 90 | adantr 274 |
. . . 4
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92 | 57, 88, 91 | mpjaod 708 |
. . 3
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93 | 8, 10, 21, 28, 17, 31, 92 | climaddc2 11131 |
. 2
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94 | 1, 5, 6, 7, 93 | isumclim 11222 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-isom 5140 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-frec 6296 df-1o 6321 df-oadd 6325 df-er 6437 df-en 6643 df-dom 6644 df-fin 6645 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-ihash 10554 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-clim 11080 df-sumdc 11155 |
This theorem is referenced by: isum1p 11293 geolim2 11313 mertenslem2 11337 mertensabs 11338 effsumlt 11435 eirraplem 11519 trilpolemeq1 13408 trilpolemlt1 13409 |
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