Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumsplit Unicode version

Theorem isumsplit 11211
 Description: Split off the first terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsplit.1
isumsplit.2
isumsplit.3
isumsplit.4
isumsplit.5
isumsplit.6
Assertion
Ref Expression
isumsplit
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isumsplit
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumsplit.1 . 2
2 isumsplit.3 . . . 4
32, 1syl6eleq 2208 . . 3
4 eluzel2 9283 . . 3
53, 4syl 14 . 2
6 isumsplit.4 . 2
7 isumsplit.5 . 2
8 isumsplit.2 . . 3
9 eluzelz 9287 . . . 4
103, 9syl 14 . . 3
11 uzss 9298 . . . . . . . 8
123, 11syl 14 . . . . . . 7
1312, 8, 13sstr4g 3108 . . . . . 6
1413sselda 3065 . . . . 5
1514, 6syldan 278 . . . 4
1614, 7syldan 278 . . . 4
17 isumsplit.6 . . . . 5
186, 7eqeltrd 2192 . . . . . 6
191, 2, 18iserex 11059 . . . . 5
2017, 19mpbid 146 . . . 4
218, 10, 15, 16, 20isumclim2 11142 . . 3
22 peano2zm 9046 . . . . . 6
2310, 22syl 14 . . . . 5
245, 23fzfigd 10155 . . . 4
25 elfzuz 9753 . . . . . 6
2625, 1syl6eleqr 2209 . . . . 5
2726, 7sylan2 282 . . . 4
2824, 27fsumcl 11120 . . 3
2914, 18syldan 278 . . . . 5
308, 10, 29serf 10198 . . . 4
3130ffvelrnda 5521 . . 3
325zred 9127 . . . . . . . . . . . 12
3332ltm1d 8650 . . . . . . . . . . 11
34 peano2zm 9046 . . . . . . . . . . . . 13
355, 34syl 14 . . . . . . . . . . . 12
36 fzn 9773 . . . . . . . . . . . 12
375, 35, 36syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11
3833, 37mpbid 146 . . . . . . . . . 10
3938sumeq1d 11086 . . . . . . . . 9
4039adantr 272 . . . . . . . 8
41 sum0 11108 . . . . . . . 8
4240, 41syl6eq 2164 . . . . . . 7
4342oveq1d 5755 . . . . . 6
4413sselda 3065 . . . . . . . 8
451, 5, 18serf 10198 . . . . . . . . 9
4645ffvelrnda 5521 . . . . . . . 8
4744, 46syldan 278 . . . . . . 7
4847addid2d 7876 . . . . . 6
4943, 48eqtr2d 2149 . . . . 5
50 oveq1 5747 . . . . . . . . 9
5150oveq2d 5756 . . . . . . . 8
5251sumeq1d 11086 . . . . . . 7
53 seqeq1 10172 . . . . . . . 8
5453fveq1d 5389 . . . . . . 7
5552, 54oveq12d 5758 . . . . . 6
5655eqeq2d 2127 . . . . 5
5749, 56syl5ibrcom 156 . . . 4
58 addcl 7709 . . . . . . . 8
5958adantl 273 . . . . . . 7
60 addass 7714 . . . . . . . 8
6160adantl 273 . . . . . . 7
62 simplr 502 . . . . . . . 8
63 simpll 501 . . . . . . . . . . 11
6410zcnd 9128 . . . . . . . . . . . . 13
65 ax-1cn 7677 . . . . . . . . . . . . 13
66 npcan 7935 . . . . . . . . . . . . 13
6764, 65, 66sylancl 407 . . . . . . . . . . . 12
6867eqcomd 2121 . . . . . . . . . . 11
6963, 68syl 14 . . . . . . . . . 10
7069fveq2d 5391 . . . . . . . . 9
718, 70syl5eq 2160 . . . . . . . 8
7262, 71eleqtrd 2194 . . . . . . 7
735adantr 272 . . . . . . . 8
74 eluzp1m1 9301 . . . . . . . 8
7573, 74sylan 279 . . . . . . 7
761eleq2i 2182 . . . . . . . . . 10
7776, 6sylan2br 284 . . . . . . . . 9
7863, 77sylan 279 . . . . . . . 8
7976, 7sylan2br 284 . . . . . . . . 9
8063, 79sylan 279 . . . . . . . 8
8178, 80eqeltrd 2192 . . . . . . 7
8259, 61, 72, 75, 81seq3split 10203 . . . . . 6
8378, 75, 80fsum3ser 11117 . . . . . . 7
8469seqeq1d 10175 . . . . . . . 8
8584fveq1d 5389 . . . . . . 7
8683, 85oveq12d 5758 . . . . . 6
8782, 86eqtr4d 2151 . . . . 5
8887ex 114 . . . 4
89 uzp1 9311 . . . . . 6
903, 89syl 14 . . . . 5
9190adantr 272 . . . 4
9257, 88, 91mpjaod 690 . . 3
938, 10, 21, 28, 17, 31, 92climaddc2 11050 . 2
941, 5, 6, 7, 93isumclim 11141 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wo 680   w3a 945   wceq 1314   wcel 1463   wss 3039  c0 3331   class class class wbr 3897   cdm 4507  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  cc0 7584  c1 7585   caddc 7587   clt 7764   cmin 7897  cz 9008  cuz 9278  cfz 9741   cseq 10169   cli 10998  csu 11073 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074 This theorem is referenced by:  isum1p  11212  geolim2  11232  mertenslem2  11256  mertensabs  11257  effsumlt  11308  eirraplem  11390  trilpolemeq1  13067  trilpolemlt1  13068
 Copyright terms: Public domain W3C validator