ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratgt0 Unicode version

Theorem cvgratgt0 11483
Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio  A of the absolute values of successive terms in an infinite sequence  F is less than 1 for all terms beyond some index  B, then the infinite sum of the terms of 
F converges to a complex number. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgrat.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgrat.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
cvgrat.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cvgrat.4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
cvgrat.gt0  |-  ( ph  ->  0  <  A )
cvgrat.5  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgrat.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
cvgrat.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvgratgt0  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    k, N    ph, k    k, W    k, Z

Proof of Theorem cvgratgt0
StepHypRef Expression
1 cvgrat.2 . . 3  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
2 cvgrat.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
3 eluzelz 9483 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
4 cvgrat.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4eleq2s 2265 . . . 4  |-  ( N  e.  Z  ->  N  e.  ZZ )
62, 5syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
7 cvgrat.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
8 cvgrat.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
9 cvgrat.gt0 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  A )
101eleq2i 2237 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  W  <->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
1110biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( k  e.  W  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
122, 4eleqtrdi 2263 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
13 uztrn 9490 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1411, 12, 13syl2anr 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1514, 4eleqtrrdi 2264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  Z )
16 cvgrat.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1715, 16syldan 280 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
18 cvgrat.7 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
191, 6, 7, 8, 9, 17, 18cvgratz 11482 . 2  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
204, 2, 16iserex 11289 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
2119, 20mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3987   dom cdm 4609   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759   RRcr 7760   0cc0 7761   1c1 7762    + caddc 7764    x. cmul 7766    < clt 7941    <_ cle 7942   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474    seqcseq 10388   abscabs 10948    ~~> cli 11228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-ico 9838  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304
This theorem is referenced by:  efcllemp  11608
  Copyright terms: Public domain W3C validator