ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratgt0 Unicode version

Theorem cvgratgt0 11554
Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio  A of the absolute values of successive terms in an infinite sequence  F is less than 1 for all terms beyond some index  B, then the infinite sum of the terms of 
F converges to a complex number. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgrat.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgrat.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
cvgrat.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cvgrat.4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
cvgrat.gt0  |-  ( ph  ->  0  <  A )
cvgrat.5  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgrat.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
cvgrat.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvgratgt0  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    k, N    ph, k    k, W    k, Z

Proof of Theorem cvgratgt0
StepHypRef Expression
1 cvgrat.2 . . 3  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
2 cvgrat.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
3 eluzelz 9550 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
4 cvgrat.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4eleq2s 2282 . . . 4  |-  ( N  e.  Z  ->  N  e.  ZZ )
62, 5syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
7 cvgrat.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
8 cvgrat.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
9 cvgrat.gt0 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  A )
101eleq2i 2254 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  W  <->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
1110biimpi 120 . . . . . 6  |-  ( k  e.  W  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
122, 4eleqtrdi 2280 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
13 uztrn 9557 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1411, 12, 13syl2anr 290 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1514, 4eleqtrrdi 2281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  Z )
16 cvgrat.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1715, 16syldan 282 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
18 cvgrat.7 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
191, 6, 7, 8, 9, 17, 18cvgratz 11553 . 2  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
204, 2, 16iserex 11360 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
2119, 20mpbird 167 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1363    e. wcel 2158   class class class wbr 4015   dom cdm 4638   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7822   RRcr 7823   0cc0 7824   1c1 7825    + caddc 7827    x. cmul 7829    < clt 8005    <_ cle 8006   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541    seqcseq 10458   abscabs 11019    ~~> cli 11299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-ico 9907  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375
This theorem is referenced by:  efcllemp  11679
  Copyright terms: Public domain W3C validator