Theorem cvgratgt0 11715

Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio A of the absolute values of successive terms in an infinite sequence F is less than 1 for all terms beyond some index B, then the infinite sum of the terms of F converges to a complex number. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgrat.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
cvgrat.2	|- W = ( ZZ>= ` N )
cvgrat.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgrat.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgrat.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgrat.5	|- ( ph -> N e. Z )
cvgrat.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgrat.7	|- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgratgt0	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, N   ph, k   k, W   k, Z

Proof of Theorem cvgratgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgrat.2	. . 3 |- W = ( ZZ>= ` N )
2		cvgrat.5	. . . 4 |- ( ph -> N e. Z )
3		eluzelz 9627	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
4		cvgrat.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5	3, 4	eleq2s 2291	. . . 4 |- ( N e. Z -> N e. ZZ )
6	2, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
7		cvgrat.3	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
8		cvgrat.4	. . 3 |- ( ph -> A < 1 )
9		cvgrat.gt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < A )
10	1	eleq2i 2263	. . . . . . 7 |- ( k e. W <-> k e. ( ZZ>= ` N ) )
11	10	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( k e. W -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
12	2, 4	eleqtrdi 2289	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
13		uztrn 9635	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` N ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
14	11, 12, 13	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
15	14, 4	eleqtrrdi 2290	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> k e. Z )
16		cvgrat.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
17	15, 16	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( F ` k ) e. CC )
18		cvgrat.7	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
19	1, 6, 7, 8, 9, 17, 18	cvgratz 11714	. 2 |- ( ph -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
20	4, 2, 16	iserex 11521	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) e. dom ~~> <-> seq N ( + , F ) e. dom ~~> ) )
21	19, 20	mpbird 167	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   dom cdm 4664   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   seqcseq 10556   abscabs 11179   ~~> cli 11460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536

This theorem is referenced by:  efcllemp  11840