Theorem cvgratgt0 11496

Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio A of the absolute values of successive terms in an infinite sequence F is less than 1 for all terms beyond some index B, then the infinite sum of the terms of F converges to a complex number. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgrat.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
cvgrat.2	|- W = ( ZZ>= ` N )
cvgrat.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgrat.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgrat.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgrat.5	|- ( ph -> N e. Z )
cvgrat.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgrat.7	|- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgratgt0	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, N   ph, k   k, W   k, Z

Proof of Theorem cvgratgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgrat.2	. . 3 |- W = ( ZZ>= ` N )
2		cvgrat.5	. . . 4 |- ( ph -> N e. Z )
3		eluzelz 9496	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
4		cvgrat.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5	3, 4	eleq2s 2265	. . . 4 |- ( N e. Z -> N e. ZZ )
6	2, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
7		cvgrat.3	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
8		cvgrat.4	. . 3 |- ( ph -> A < 1 )
9		cvgrat.gt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < A )
10	1	eleq2i 2237	. . . . . . 7 |- ( k e. W <-> k e. ( ZZ>= ` N ) )
11	10	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( k e. W -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
12	2, 4	eleqtrdi 2263	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
13		uztrn 9503	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` N ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
14	11, 12, 13	syl2anr 288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
15	14, 4	eleqtrrdi 2264	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> k e. Z )
16		cvgrat.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
17	15, 16	syldan 280	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( F ` k ) e. CC )
18		cvgrat.7	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
19	1, 6, 7, 8, 9, 17, 18	cvgratz 11495	. 2 |- ( ph -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
20	4, 2, 16	iserex 11302	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) e. dom ~~> <-> seq N ( + , F ) e. dom ~~> ) )
21	19, 20	mpbird 166	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   dom cdm 4611   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   seqcseq 10401   abscabs 10961   ~~> cli 11241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  efcllemp  11621