Theorem cvgratgt0 12325

Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio A of the absolute values of successive terms in an infinite sequence F is less than 1 for all terms beyond some index B, then the infinite sum of the terms of F converges to a complex number. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgrat.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
cvgrat.2	|- W = ( ZZ>= ` N )
cvgrat.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgrat.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgrat.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgrat.5	|- ( ph -> N e. Z )
cvgrat.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgrat.7	|- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgratgt0	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, N   ph, k   k, W   k, Z

Proof of Theorem cvgratgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgrat.2	. . 3 |- W = ( ZZ>= ` N )
2		cvgrat.5	. . . 4 |- ( ph -> N e. Z )
3		eluzelz 9947	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
4		cvgrat.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5	3, 4	eleq2s 2333	. . . 4 |- ( N e. Z -> N e. ZZ )
6	2, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
7		cvgrat.3	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
8		cvgrat.4	. . 3 |- ( ph -> A < 1 )
9		cvgrat.gt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < A )
10	1	eleq2i 2305	. . . . . . 7 |- ( k e. W <-> k e. ( ZZ>= ` N ) )
11	10	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( k e. W -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
12	2, 4	eleqtrdi 2331	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
13		uztrn 9955	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` N ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
14	11, 12, 13	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
15	14, 4	eleqtrrdi 2332	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> k e. Z )
16		cvgrat.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
17	15, 16	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( F ` k ) e. CC )
18		cvgrat.7	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
19	1, 6, 7, 8, 9, 17, 18	cvgratz 12324	. 2 |- ( ph -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
20	4, 2, 16	iserex 12130	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) e. dom ~~> <-> seq N ( + , F ) e. dom ~~> ) )
21	19, 20	mpbird 167	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   seqcseq 10905   abscabs 11785   ~~> cli 12069

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145

This theorem is used by:  efcllemp  12450