Theorem xaddmnf2 9862

Description: Addition of negative infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddmnf2	|- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( -oo +e A ) = -oo )

Proof of Theorem xaddmnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 8027	. . 3 |- -oo e. RR*
2		xaddval 9858	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( -oo +e A ) = if ( -oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR* -> ( -oo +e A ) = if ( -oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) ) )
4		mnfnepnf 8026	. . . . 5 |- -oo =/= +oo
5		ifnefalse 3557	. . . . 5 |- ( -oo =/= +oo -> if ( -oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) ) = if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- if ( -oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) ) = if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) )
7		eqid 2187	. . . . 5 |- -oo = -oo
8	7	iftruei 3552	. . . 4 |- if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) = if ( A = +oo , 0 , -oo )
9	6, 8	eqtri 2208	. . 3 |- if ( -oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) ) = if ( A = +oo , 0 , -oo )
10		ifnefalse 3557	. . 3 |- ( A =/= +oo -> if ( A = +oo , 0 , -oo ) = -oo )
11	9, 10	eqtrid 2232	. 2 |- ( A =/= +oo -> if ( -oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) ) = -oo )
12	3, 11	sylan9eq 2240	1 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( -oo +e A ) = -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   =/= wne 2357   ifcif 3546  (class class class)co 5888   0cc0 7824   + caddc 7827   +oocpnf 8002   -oocmnf 8003   RR*cxr 8004   +ecxad 9783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921  ax-rnegex 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-xadd 9786

This theorem is referenced by:  xaddnepnf  9871  xaddcom  9874  xaddid1  9875  xnegdi  9881  xpncan  9884  xleadd1a  9886  xltadd1  9889  xlt2add  9893  xposdif  9895  xleaddadd  9900  xrmaxadd  11282