Theorem xaddmnf2 9867

Description: Addition of negative infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddmnf2	|- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( -oo +e A ) = -oo )

Proof of Theorem xaddmnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 8032	. . 3 |- -oo e. RR*
2		xaddval 9863	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( -oo +e A ) = if ( -oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR* -> ( -oo +e A ) = if ( -oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) ) )
4		mnfnepnf 8031	. . . . 5 |- -oo =/= +oo
5		ifnefalse 3560	. . . . 5 |- ( -oo =/= +oo -> if ( -oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) ) = if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- if ( -oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) ) = if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) )
7		eqid 2189	. . . . 5 |- -oo = -oo
8	7	iftruei 3555	. . . 4 |- if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) = if ( A = +oo , 0 , -oo )
9	6, 8	eqtri 2210	. . 3 |- if ( -oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) ) = if ( A = +oo , 0 , -oo )
10		ifnefalse 3560	. . 3 |- ( A =/= +oo -> if ( A = +oo , 0 , -oo ) = -oo )
11	9, 10	eqtrid 2234	. 2 |- ( A =/= +oo -> if ( -oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( -oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( -oo + A ) ) ) ) ) = -oo )
12	3, 11	sylan9eq 2242	1 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( -oo +e A ) = -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   ifcif 3549  (class class class)co 5891   0cc0 7829   + caddc 7832   +oocpnf 8007   -oocmnf 8008   RR*cxr 8009   +ecxad 9788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926  ax-rnegex 7938

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-xadd 9791

This theorem is referenced by:  xaddnepnf  9876  xaddcom  9879  xaddid1  9880  xnegdi  9886  xpncan  9889  xleadd1a  9891  xltadd1  9894  xlt2add  9898  xposdif  9900  xleaddadd  9905  xrmaxadd  11287