ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xaddmnf2 Unicode version

Theorem xaddmnf2 9795
Description: Addition of negative infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddmnf2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( -oo +e A )  = -oo )

Proof of Theorem xaddmnf2
StepHypRef Expression
1 mnfxr 7965 . . 3  |- -oo  e.  RR*
2 xaddval 9791 . . 3  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( -oo +e A )  =  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo , 
0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo ,  ( -oo  +  A ) ) ) ) ) )
31, 2mpan 422 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -oo +e A )  =  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo , 
0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo ,  ( -oo  +  A ) ) ) ) ) )
4 mnfnepnf 7964 . . . . 5  |- -oo  =/= +oo
5 ifnefalse 3536 . . . . 5  |-  ( -oo  =/= +oo  ->  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )  =  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )  =  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) )
7 eqid 2170 . . . . 5  |- -oo  = -oo
87iftruei 3531 . . . 4  |-  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) )  =  if ( A  = +oo ,  0 , -oo )
96, 8eqtri 2191 . . 3  |-  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )  =  if ( A  = +oo , 
0 , -oo )
10 ifnefalse 3536 . . 3  |-  ( A  =/= +oo  ->  if ( A  = +oo , 
0 , -oo )  = -oo )
119, 10eqtrid 2215 . 2  |-  ( A  =/= +oo  ->  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )  = -oo )
123, 11sylan9eq 2223 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( -oo +e A )  = -oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340   ifcif 3525  (class class class)co 5851   0cc0 7763    + caddc 7766   +oocpnf 7940   -oocmnf 7941   RR*cxr 7942   +ecxad 9716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1re 7857  ax-addrcl 7860  ax-rnegex 7872
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-xadd 9719
This theorem is referenced by:  xaddnepnf  9804  xaddcom  9807  xaddid1  9808  xnegdi  9814  xpncan  9817  xleadd1a  9819  xltadd1  9822  xlt2add  9826  xposdif  9828  xleaddadd  9833  xrmaxadd  11213
  Copyright terms: Public domain W3C validator