ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xaddmnf2 Unicode version

Theorem xaddmnf2 9862
Description: Addition of negative infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddmnf2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( -oo +e A )  = -oo )

Proof of Theorem xaddmnf2
StepHypRef Expression
1 mnfxr 8027 . . 3  |- -oo  e.  RR*
2 xaddval 9858 . . 3  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( -oo +e A )  =  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo , 
0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo ,  ( -oo  +  A ) ) ) ) ) )
31, 2mpan 424 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -oo +e A )  =  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo , 
0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo ,  ( -oo  +  A ) ) ) ) ) )
4 mnfnepnf 8026 . . . . 5  |- -oo  =/= +oo
5 ifnefalse 3557 . . . . 5  |-  ( -oo  =/= +oo  ->  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )  =  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )  =  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) )
7 eqid 2187 . . . . 5  |- -oo  = -oo
87iftruei 3552 . . . 4  |-  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) )  =  if ( A  = +oo ,  0 , -oo )
96, 8eqtri 2208 . . 3  |-  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )  =  if ( A  = +oo , 
0 , -oo )
10 ifnefalse 3557 . . 3  |-  ( A  =/= +oo  ->  if ( A  = +oo , 
0 , -oo )  = -oo )
119, 10eqtrid 2232 . 2  |-  ( A  =/= +oo  ->  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )  = -oo )
123, 11sylan9eq 2240 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( -oo +e A )  = -oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1363    e. wcel 2158    =/= wne 2357   ifcif 3546  (class class class)co 5888   0cc0 7824    + caddc 7827   +oocpnf 8002   -oocmnf 8003   RR*cxr 8004   +ecxad 9783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921  ax-rnegex 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-xadd 9786
This theorem is referenced by:  xaddnepnf  9871  xaddcom  9874  xaddid1  9875  xnegdi  9881  xpncan  9884  xleadd1a  9886  xltadd1  9889  xlt2add  9893  xposdif  9895  xleaddadd  9900  xrmaxadd  11282
  Copyright terms: Public domain W3C validator