ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xaddmnf2 Unicode version

Theorem xaddmnf2 9879
Description: Addition of negative infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddmnf2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( -oo +e A )  = -oo )

Proof of Theorem xaddmnf2
StepHypRef Expression
1 mnfxr 8044 . . 3  |- -oo  e.  RR*
2 xaddval 9875 . . 3  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( -oo +e A )  =  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo , 
0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo ,  ( -oo  +  A ) ) ) ) ) )
31, 2mpan 424 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -oo +e A )  =  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo , 
0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo ,  ( -oo  +  A ) ) ) ) ) )
4 mnfnepnf 8043 . . . . 5  |- -oo  =/= +oo
5 ifnefalse 3560 . . . . 5  |-  ( -oo  =/= +oo  ->  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )  =  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )  =  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) )
7 eqid 2189 . . . . 5  |- -oo  = -oo
87iftruei 3555 . . . 4  |-  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) )  =  if ( A  = +oo ,  0 , -oo )
96, 8eqtri 2210 . . 3  |-  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )  =  if ( A  = +oo , 
0 , -oo )
10 ifnefalse 3560 . . 3  |-  ( A  =/= +oo  ->  if ( A  = +oo , 
0 , -oo )  = -oo )
119, 10eqtrid 2234 . 2  |-  ( A  =/= +oo  ->  if ( -oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( -oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( -oo  +  A
) ) ) ) )  = -oo )
123, 11sylan9eq 2242 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( -oo +e A )  = -oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360   ifcif 3549  (class class class)co 5896   0cc0 7841    + caddc 7844   +oocpnf 8019   -oocmnf 8020   RR*cxr 8021   +ecxad 9800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1re 7935  ax-addrcl 7938  ax-rnegex 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-xadd 9803
This theorem is referenced by:  xaddnepnf  9888  xaddcom  9891  xaddid1  9892  xnegdi  9898  xpncan  9901  xleadd1a  9903  xltadd1  9906  xlt2add  9910  xposdif  9912  xleaddadd  9917  xrmaxadd  11301
  Copyright terms: Public domain W3C validator