Theorem xaddmnf2 10251

Description: Addition of negative infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddmnf2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)

Proof of Theorem xaddmnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 8382	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		xaddval 10247	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ +𝑒 𝐴) = if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))))
3	1, 2	mpan 428	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ +𝑒 𝐴) = if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))))
4		mnfnepnf 8381	. . . . 5 ⊢ -∞ ≠ +∞
5		ifnefalse 3651	. . . . 5 ⊢ (-∞ ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴)))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))
7		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ -∞ = -∞
8	7	iftruei 3646	. . . 4 ⊢ if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴)))) = if(𝐴 = +∞, 0, -∞)
9	6, 8	eqtri 2259	. . 3 ⊢ if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(𝐴 = +∞, 0, -∞)
10		ifnefalse 3651	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(𝐴 = +∞, 0, -∞) = -∞)
11	9, 10	eqtrid 2283	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = -∞)
12	3, 11	sylan9eq 2291	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ifcif 3638  (class class class)co 6085  0cc0 8179   + caddc 8182  +∞cpnf 8357  -∞cmnf 8358  ℝ^*cxr 8359   +_𝑒 cxad 10172

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-rnegex 8288

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-xadd 10175

This theorem is used by:  xaddnepnf  10260  xaddcom  10263  xaddid1  10264  xnegdi  10270  xpncan  10273  xleadd1a  10275  xltadd1  10278  xlt2add  10282  xposdif  10284  xleaddadd  10289  xrmaxadd  12027