Theorem xaddmnf2 10006

Description: Addition of negative infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddmnf2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)

Proof of Theorem xaddmnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 8164	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		xaddval 10002	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ +𝑒 𝐴) = if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))))
3	1, 2	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ +𝑒 𝐴) = if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))))
4		mnfnepnf 8163	. . . . 5 ⊢ -∞ ≠ +∞
5		ifnefalse 3590	. . . . 5 ⊢ (-∞ ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴)))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))
7		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ -∞ = -∞
8	7	iftruei 3585	. . . 4 ⊢ if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴)))) = if(𝐴 = +∞, 0, -∞)
9	6, 8	eqtri 2228	. . 3 ⊢ if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(𝐴 = +∞, 0, -∞)
10		ifnefalse 3590	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(𝐴 = +∞, 0, -∞) = -∞)
11	9, 10	eqtrid 2252	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = -∞)
12	3, 11	sylan9eq 2260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  ifcif 3579  (class class class)co 5967  0cc0 7960   + caddc 7963  +∞cpnf 8139  -∞cmnf 8140  ℝ^*cxr 8141   +_𝑒 cxad 9927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057  ax-rnegex 8069

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-xadd 9930

This theorem is referenced by:  xaddnepnf  10015  xaddcom  10018  xaddid1  10019  xnegdi  10025  xpncan  10028  xleadd1a  10030  xltadd1  10033  xlt2add  10037  xposdif  10039  xleaddadd  10044  xrmaxadd  11687