Theorem xaddmnf2 9971

Description: Addition of negative infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddmnf2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)

Proof of Theorem xaddmnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 8129	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		xaddval 9967	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ +𝑒 𝐴) = if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))))
3	1, 2	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ +𝑒 𝐴) = if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))))
4		mnfnepnf 8128	. . . . 5 ⊢ -∞ ≠ +∞
5		ifnefalse 3582	. . . . 5 ⊢ (-∞ ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴)))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))
7		eqid 2205	. . . . 5 ⊢ -∞ = -∞
8	7	iftruei 3577	. . . 4 ⊢ if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴)))) = if(𝐴 = +∞, 0, -∞)
9	6, 8	eqtri 2226	. . 3 ⊢ if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(𝐴 = +∞, 0, -∞)
10		ifnefalse 3582	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(𝐴 = +∞, 0, -∞) = -∞)
11	9, 10	eqtrid 2250	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = -∞)
12	3, 11	sylan9eq 2258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  ifcif 3571  (class class class)co 5944  0cc0 7925   + caddc 7928  +∞cpnf 8104  -∞cmnf 8105  ℝ^*cxr 8106   +_𝑒 cxad 9892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022  ax-rnegex 8034

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-xadd 9895

This theorem is referenced by:  xaddnepnf  9980  xaddcom  9983  xaddid1  9984  xnegdi  9990  xpncan  9993  xleadd1a  9995  xltadd1  9998  xlt2add  10002  xposdif  10004  xleaddadd  10009  xrmaxadd  11572