ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncnpi GIF version

Theorem cncnpi 12324
Description: A continuous function is continuous at all points. One direction of Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnsscnp.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
cncnpi ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴))

Proof of Theorem cncnpi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsscnp.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
2 eqid 2117 . . . 4 𝐾 = 𝐾
31, 2cnf 12300 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋 𝐾)
43adantr 274 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹:𝑋 𝐾)
5 cnima 12316 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
65ad2ant2r 500 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑦𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
7 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
87adantr 274 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑦𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑦)) → 𝐴𝑋)
9 simprr 506 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑦𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑦)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑦)
103ad2antrr 479 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑦𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑦)) → 𝐹:𝑋 𝐾)
11 ffn 5242 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋 𝐾𝐹 Fn 𝑋)
12 elpreima 5507 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑋 → (𝐴 ∈ (𝐹𝑦) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑦)))
1310, 11, 123syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑦𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑦)) → (𝐴 ∈ (𝐹𝑦) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑦)))
148, 9, 13mpbir2and 913 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑦𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑦)) → 𝐴 ∈ (𝐹𝑦))
15 eqimss 3121 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑦) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑦))
1615biantrud 302 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝐴𝑥 ↔ (𝐴𝑥𝑥 ⊆ (𝐹𝑦))))
17 eleq2 2181 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝐴𝑥𝐴 ∈ (𝐹𝑦)))
1816, 17bitr3d 189 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑦) → ((𝐴𝑥𝑥 ⊆ (𝐹𝑦)) ↔ 𝐴 ∈ (𝐹𝑦)))
1918rspcev 2763 . . . . 5 (((𝐹𝑦) ∈ 𝐽𝐴 ∈ (𝐹𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑥𝑥 ⊆ (𝐹𝑦)))
206, 14, 19syl2anc 408 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑦𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑥𝑥 ⊆ (𝐹𝑦)))
2120expr 372 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝐾) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑥𝑥 ⊆ (𝐹𝑦))))
2221ralrimiva 2482 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑥𝑥 ⊆ (𝐹𝑦))))
23 cntop1 12297 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2423adantr 274 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
251toptopon 12112 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2624, 25sylib 121 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
27 cntop2 12298 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
2827adantr 274 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ Top)
292toptopon 12112 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
3028, 29sylib 121 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
31 iscnp3 12299 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋 𝐾 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑥𝑥 ⊆ (𝐹𝑦))))))
3226, 30, 7, 31syl3anc 1201 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋 𝐾 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑥𝑥 ⊆ (𝐹𝑦))))))
334, 22, 32mpbir2and 913 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  wrex 2394  wss 3041   cuni 3706  ccnv 4508  cima 4512   Fn wfn 5088  wf 5089  cfv 5093  (class class class)co 5742  Topctop 12091  TopOnctopon 12104   Cn ccn 12281   CnP ccnp 12282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-map 6512  df-top 12092  df-topon 12105  df-cn 12284  df-cnp 12285
This theorem is referenced by:  cnsscnp  12325  cncnp  12326  lmcn  12347  dvcnp2cntop  12759  dvaddxxbr  12761  dvmulxxbr  12762  dvcoapbr  12767  dvcjbr  12768
  Copyright terms: Public domain W3C validator