Theorem iseqf1olemkle 10497

Description: Lemma for seq3f1o 10517. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemkle.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqf1olemkle.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemkle.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemkle.const	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemkle	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemkle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemkle.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 10038	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	zred 9388	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6		iseqf1olemkle.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
7		f1ocnv 5486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
9		f1of 5473	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
11	10, 1	ffvelcdmd 5665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
12		elfzelz 10038	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
15	14	zred 9388	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℝ)
16		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾))
17	5, 15, 16	ltled 8089	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
18	3	zred 9388	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
19		eqle 8062	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
20	18, 19	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
21	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
22	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
23		f1ocnvfv2 5792	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
25		fveq2 5527	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → (𝐽‘𝑥) = (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)))
26		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → 𝑥 = (◡𝐽‘𝐾))
27	25, 26	eqeq12d 2202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → ((𝐽‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = (◡𝐽‘𝐾)))
28		iseqf1olemkle.const	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
29	28	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
30		elfzuz 10034	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31	11, 30	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
34		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾)
35		elfzo2 10163	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾) ↔ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
36	32, 33, 34, 35	syl3anbrc 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾))
37	27, 29, 36	rspcdva 2858	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = (◡𝐽‘𝐾))
38	24, 37	eqtr3d 2222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾))
39	38, 20	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
40		ztri3or 9309	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ∨ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾) ∨ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
41	3, 13, 40	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ∨ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾) ∨ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
42	17, 20, 39, 41	mpjao3dan 1317	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 978   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465   class class class wbr 4015  ^◡ccnv 4637  ⟶wf 5224  –1-1-onto→wf1o 5227  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℝcr 7823   < clt 8005   ≤ cle 8006  ℤcz 9266  ℤ_≥cuz 9541  ...cfz 10021  ..^cfzo 10155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-fzo 10156

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqk  10507  seq3f1olemqsumkj  10511  seq3f1olemqsumk  10512