ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemkle GIF version

Theorem iseqf1olemkle 10429
Description: Lemma for seq3f1o 10449. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemkle.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqf1olemkle.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemkle.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemkle.const (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemkle (𝜑𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemkle
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemkle.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2 elfzelz 9970 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
43adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
54zred 9323 . . 3 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6 iseqf1olemkle.j . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
7 f1ocnv 5453 . . . . . . . . 9 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
9 f1of 5440 . . . . . . . 8 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
108, 9syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1110, 1ffvelrnd 5630 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
12 elfzelz 9970 . . . . . 6 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
1311, 12syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
1413adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
1514zred 9323 . . 3 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → (𝐽𝐾) ∈ ℝ)
16 simpr 109 . . 3 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → 𝐾 < (𝐽𝐾))
175, 15, 16ltled 8027 . 2 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
183zred 9323 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
19 eqle 8000 . . 3 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 = (𝐽𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
2018, 19sylan 281 . 2 ((𝜑𝐾 = (𝐽𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
216adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
221adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
23 f1ocnvfv2 5755 . . . . 5 ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = 𝐾)
2421, 22, 23syl2anc 409 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = 𝐾)
25 fveq2 5494 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐽𝐾) → (𝐽𝑥) = (𝐽‘(𝐽𝐾)))
26 id 19 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐽𝐾) → 𝑥 = (𝐽𝐾))
2725, 26eqeq12d 2185 . . . . 5 (𝑥 = (𝐽𝐾) → ((𝐽𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐽‘(𝐽𝐾)) = (𝐽𝐾)))
28 iseqf1olemkle.const . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
2928adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
30 elfzuz 9966 . . . . . . . 8 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
3111, 30syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
3231adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
333adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
34 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽𝐾) < 𝐾)
35 elfzo2 10095 . . . . . 6 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾) ↔ ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾))
3632, 33, 34, 35syl3anbrc 1176 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾))
3727, 29, 36rspcdva 2839 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = (𝐽𝐾))
3824, 37eqtr3d 2205 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 = (𝐽𝐾))
3938, 20syldan 280 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
40 ztri3or 9244 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝐽𝐾) ∨ 𝐾 = (𝐽𝐾) ∨ (𝐽𝐾) < 𝐾))
413, 13, 40syl2anc 409 . 2 (𝜑 → (𝐾 < (𝐽𝐾) ∨ 𝐾 = (𝐽𝐾) ∨ (𝐽𝐾) < 𝐾))
4217, 20, 39, 41mpjao3dan 1302 1 (𝜑𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3o 972   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448   class class class wbr 3987  ccnv 4608  wf 5192  1-1-ontowf1o 5195  cfv 5196  (class class class)co 5851  cr 7762   < clt 7943  cle 7944  cz 9201  cuz 9476  ...cfz 9954  ..^cfzo 10087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-addass 7865  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-ltadd 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-inn 8868  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-fz 9955  df-fzo 10088
This theorem is referenced by:  iseqf1olemqk  10439  seq3f1olemqsumkj  10443  seq3f1olemqsumk  10444
  Copyright terms: Public domain W3C validator