Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemkle GIF version

Theorem iseqf1olemkle 10287
 Description: Lemma for seq3f1o 10307. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemkle.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqf1olemkle.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemkle.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemkle.const (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemkle (𝜑𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemkle
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemkle.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2 elfzelz 9836 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
43adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
54zred 9196 . . 3 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6 iseqf1olemkle.j . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
7 f1ocnv 5387 . . . . . . . . 9 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
9 f1of 5374 . . . . . . . 8 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
108, 9syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1110, 1ffvelrnd 5563 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
12 elfzelz 9836 . . . . . 6 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
1311, 12syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
1413adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
1514zred 9196 . . 3 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → (𝐽𝐾) ∈ ℝ)
16 simpr 109 . . 3 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → 𝐾 < (𝐽𝐾))
175, 15, 16ltled 7904 . 2 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
183zred 9196 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
19 eqle 7878 . . 3 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 = (𝐽𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
2018, 19sylan 281 . 2 ((𝜑𝐾 = (𝐽𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
216adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
221adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
23 f1ocnvfv2 5686 . . . . 5 ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = 𝐾)
2421, 22, 23syl2anc 409 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = 𝐾)
25 fveq2 5428 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐽𝐾) → (𝐽𝑥) = (𝐽‘(𝐽𝐾)))
26 id 19 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐽𝐾) → 𝑥 = (𝐽𝐾))
2725, 26eqeq12d 2155 . . . . 5 (𝑥 = (𝐽𝐾) → ((𝐽𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐽‘(𝐽𝐾)) = (𝐽𝐾)))
28 iseqf1olemkle.const . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
2928adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
30 elfzuz 9832 . . . . . . . 8 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
3111, 30syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
3231adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
333adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
34 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽𝐾) < 𝐾)
35 elfzo2 9957 . . . . . 6 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾) ↔ ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾))
3632, 33, 34, 35syl3anbrc 1166 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾))
3727, 29, 36rspcdva 2797 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = (𝐽𝐾))
3824, 37eqtr3d 2175 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 = (𝐽𝐾))
3938, 20syldan 280 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
40 ztri3or 9120 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝐽𝐾) ∨ 𝐾 = (𝐽𝐾) ∨ (𝐽𝐾) < 𝐾))
413, 13, 40syl2anc 409 . 2 (𝜑 → (𝐾 < (𝐽𝐾) ∨ 𝐾 = (𝐽𝐾) ∨ (𝐽𝐾) < 𝐾))
4217, 20, 39, 41mpjao3dan 1286 1 (𝜑𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ w3o 962   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417   class class class wbr 3936  ◡ccnv 4545  ⟶wf 5126  –1-1-onto→wf1o 5129  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781  ℝcr 7642   < clt 7823   ≤ cle 7824  ℤcz 9077  ℤ≥cuz 9349  ...cfz 9820  ..^cfzo 9949 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-fzo 9950 This theorem is referenced by:  iseqf1olemqk  10297  seq3f1olemqsumkj  10301  seq3f1olemqsumk  10302
 Copyright terms: Public domain W3C validator