Theorem iseqf1olemkle 10912

Description: Lemma for seq3f1o 10932. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemkle.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqf1olemkle.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemkle.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemkle.const	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemkle	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemkle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemkle.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 10407	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	zred 9747	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6		iseqf1olemkle.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
7		f1ocnv 5647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
9		f1of 5634	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
11	10, 1	ffvelcdmd 5835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
12		elfzelz 10407	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
15	14	zred 9747	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℝ)
16		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾))
17	5, 15, 16	ltled 8435	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
18	3	zred 9747	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
19		eqle 8407	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
20	18, 19	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
21	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
22	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
23		f1ocnvfv2 5974	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
24	21, 22, 23	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
25		fveq2 5690	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → (𝐽‘𝑥) = (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)))
26		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → 𝑥 = (◡𝐽‘𝐾))
27	25, 26	eqeq12d 2253	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → ((𝐽‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = (◡𝐽‘𝐾)))
28		iseqf1olemkle.const	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
29	28	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
30		elfzuz 10403	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31	11, 30	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
34		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾)
35		elfzo2 10535	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾) ↔ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
36	32, 33, 34, 35	syl3anbrc 1212	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾))
37	27, 29, 36	rspcdva 2934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = (◡𝐽‘𝐾))
38	24, 37	eqtr3d 2273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾))
39	38, 20	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
40		ztri3or 9666	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ∨ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾) ∨ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
41	3, 13, 40	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ∨ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾) ∨ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
42	17, 20, 39, 41	mpjao3dan 1348	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4125  ^◡ccnv 4768  ⟶wf 5368  –1-1-onto→wf1o 5371  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℝcr 8168   < clt 8350   ≤ cle 8351  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390  ..^cfzo 10527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqk  10922  seq3f1olemqsumkj  10926  seq3f1olemqsumk  10927