ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemkle GIF version

Theorem iseqf1olemkle 9878
Description: Lemma for seq3f1o 9898. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemkle.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqf1olemkle.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemkle.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemkle.const (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemkle (𝜑𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemkle
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemkle.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2 elfzelz 9409 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
43adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
54zred 8838 . . 3 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6 iseqf1olemkle.j . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
7 f1ocnv 5250 . . . . . . . . 9 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
9 f1of 5237 . . . . . . . 8 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
108, 9syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1110, 1ffvelrnd 5419 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
12 elfzelz 9409 . . . . . 6 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
1311, 12syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
1413adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
1514zred 8838 . . 3 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → (𝐽𝐾) ∈ ℝ)
16 simpr 108 . . 3 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → 𝐾 < (𝐽𝐾))
175, 15, 16ltled 7581 . 2 ((𝜑𝐾 < (𝐽𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
183zred 8838 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
19 eqle 7555 . . 3 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 = (𝐽𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
2018, 19sylan 277 . 2 ((𝜑𝐾 = (𝐽𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
216adantr 270 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
221adantr 270 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
23 f1ocnvfv2 5539 . . . . 5 ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = 𝐾)
2421, 22, 23syl2anc 403 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = 𝐾)
25 fveq2 5289 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐽𝐾) → (𝐽𝑥) = (𝐽‘(𝐽𝐾)))
26 id 19 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐽𝐾) → 𝑥 = (𝐽𝐾))
2725, 26eqeq12d 2102 . . . . 5 (𝑥 = (𝐽𝐾) → ((𝐽𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐽‘(𝐽𝐾)) = (𝐽𝐾)))
28 iseqf1olemkle.const . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
2928adantr 270 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
30 elfzuz 9405 . . . . . . . 8 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
3111, 30syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
3231adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
333adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
34 simpr 108 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽𝐾) < 𝐾)
35 elfzo2 9526 . . . . . 6 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾) ↔ ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾))
3632, 33, 34, 35syl3anbrc 1127 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾))
3727, 29, 36rspcdva 2727 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = (𝐽𝐾))
3824, 37eqtr3d 2122 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 = (𝐽𝐾))
3938, 20syldan 276 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
40 ztri3or 8763 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝐽𝐾) ∨ 𝐾 = (𝐽𝐾) ∨ (𝐽𝐾) < 𝐾))
413, 13, 40syl2anc 403 . 2 (𝜑 → (𝐾 < (𝐽𝐾) ∨ 𝐾 = (𝐽𝐾) ∨ (𝐽𝐾) < 𝐾))
4217, 20, 39, 41mpjao3dan 1243 1 (𝜑𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3o 923   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359   class class class wbr 3837  ccnv 4427  wf 4998  1-1-ontowf1o 5001  cfv 5002  (class class class)co 5634  cr 7328   < clt 7501  cle 7502  cz 8720  cuz 8988  ...cfz 9393  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by:  iseqf1olemqk  9888  seq3f1olemqsumkj  9892  seq3f1olemqsumk  9893
  Copyright terms: Public domain W3C validator