Theorem iseqf1olemkle 10859

Description: Lemma for seq3f1o 10879. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemkle.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqf1olemkle.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemkle.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemkle.const	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemkle	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemkle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemkle.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 10359	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	zred 9700	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6		iseqf1olemkle.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
7		f1ocnv 5627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
9		f1of 5614	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
11	10, 1	ffvelcdmd 5813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
12		elfzelz 10359	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
15	14	zred 9700	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℝ)
16		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾))
17	5, 15, 16	ltled 8392	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
18	3	zred 9700	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
19		eqle 8365	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
20	18, 19	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
21	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
22	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
23		f1ocnvfv2 5951	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
25		fveq2 5670	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → (𝐽‘𝑥) = (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)))
26		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → 𝑥 = (◡𝐽‘𝐾))
27	25, 26	eqeq12d 2247	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → ((𝐽‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = (◡𝐽‘𝐾)))
28		iseqf1olemkle.const	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
29	28	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
30		elfzuz 10355	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31	11, 30	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
34		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾)
35		elfzo2 10484	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾) ↔ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
36	32, 33, 34, 35	syl3anbrc 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾))
37	27, 29, 36	rspcdva 2926	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = (◡𝐽‘𝐾))
38	24, 37	eqtr3d 2267	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾))
39	38, 20	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
40		ztri3or 9620	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ∨ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾) ∨ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
41	3, 13, 40	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ∨ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾) ∨ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
42	17, 20, 39, 41	mpjao3dan 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   class class class wbr 4109  ^◡ccnv 4748  ⟶wf 5348  –1-1-onto→wf1o 5351  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℝcr 8126   < clt 8308   ≤ cle 8309  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342  ..^cfzo 10476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqk  10869  seq3f1olemqsumkj  10873  seq3f1olemqsumk  10874