Theorem zltnle 9299

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem zltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9257	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
2		zre 9257	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		lenlt 8033	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5	4	biimpd 144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
6	5	con2d 624	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
7		ztri3or 9296	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
8		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
10		eqcom 2179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐴)
11		eqle 8049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
12	10, 11	sylan2b 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13	12	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴))
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴))
15	1, 14	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴))
16		pm2.24 621	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
17	15, 16	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
18		ltle 8045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
19	1, 2, 18	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
20	19, 16	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
21	9, 17, 20	3jaod 1304	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
22	7, 21	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
23	6, 22	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 977   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ℝcr 7810   < clt 7992   ≤ cle 7993  ℤcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254

This theorem is referenced by:  znnnlt1  9301  nn0n0n1ge2b  9332  eluzdc  9610  fzdcel  10040  fzn  10042  fzpreddisj  10071  fzp1disj  10080  fzneuz  10101  fznuz  10102  uznfz  10103  fzp1nel  10104  difelfznle  10135  fzodisj  10178  exfzdc  10240  modfzo0difsn  10395  fzfig  10430  iseqf1olemqk  10494  exp3val  10522  facdiv  10718  bcval5  10743  zfz1isolemiso  10819  2zsupmax  11234  2zinfmin  11251  summodclem3  11388  fprodntrivap  11592  alzdvds  11860  fzm1ndvds  11862  fzo0dvdseq  11863  n2dvds1  11917  dvdsbnd  11957  algcvgblem  12049  prmndvdsfaclt  12156  odzdvds  12245  pcprendvds  12290  pcdvdsb  12319  pc2dvds  12329  pcmpt  12341  pockthg  12355  prmunb  12360  1arith  12365  lgsdilem2  14440  uzdcinzz  14553