Theorem zltnle 9695

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem zltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9653	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
2		zre 9653	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		lenlt 8402	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5	4	biimpd 144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
6	5	con2d 633	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
7		ztri3or 9692	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
8		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
10		eqcom 2240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐴)
11		eqle 8418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
12	10, 11	sylan2b 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13	12	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴))
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴))
15	1, 14	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴))
16		pm2.24 630	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
17	15, 16	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
18		ltle 8414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
19	1, 2, 18	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
20	19, 16	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
21	9, 17, 20	3jaod 1345	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
22	7, 21	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
23	6, 22	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8179   < clt 8361   ≤ cle 8362  ℤcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650

This theorem is used by:  znnnlt1  9697  nnnle0  9698  nn0n0n1ge2b  9730  eluzdc  10020  fzdcel  10455  fzn  10457  fzpreddisj  10489  fzp1disj  10498  fzneuz  10519  fznuz  10520  uznfz  10521  fzp1nel  10522  difelfznle  10553  nelfzo  10570  fzodisj  10598  exfzdc  10670  modfzo0difsn  10847  fzfig  10882  iseqf1olemqk  10959  exp3val  10993  facdiv  11192  bcval5  11217  zfz1isolemiso  11307  ccatsymb  11386  swrdnd  11447  swrdsbslen  11454  swrdspsleq  11455  pfxccat3  11522  swrdccat  11523  pfxccat3a  11526  2zsupmax  12009  2zinfmin  12028  summodclem3  12166  fprodntrivap  12370  alzdvds  12640  fzm1ndvds  12642  fzo0dvdseq  12643  n2dvds1  12698  bitsfzolem  12740  bitsfzo  12741  dvdsbnd  12752  algcvgblem  12846  prmndvdsfaclt  12954  odzdvds  13047  pcprendvds  13092  pcdvdsb  13122  pc2dvds  13132  pcmpt  13145  pockthg  13159  prmunb  13164  1arith  13169  4sqlem11  13203  prmlem1  13245  prmlem2  13257  ballotfilem2  13280  ballotfilemfc0  13284  ballotfilemfcc  13285  ballotfilemodife  13292  ballotfilemrv2  13317  gzsumgsum  14239  ppiprm  16220  chtprm  16222  ppiublem1  16252  chtqub  16257  perfectlem2  16261  bpos1  16271  bposlem1  16272  bposlem3  16274  bposlem6  16277  lgsdilem2  16321  lgsquadlem2  16363  uzdcinzz  16992