Theorem zltnle 9233

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem zltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9191	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
2		zre 9191	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		lenlt 7970	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anr 288	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5	4	biimpd 143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
6	5	con2d 614	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
7		ztri3or 9230	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
8		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
10		eqcom 2167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐴)
11		eqle 7986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
12	10, 11	sylan2b 285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13	12	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴))
14	13	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴))
15	1, 14	sylan2 284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴))
16		pm2.24 611	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
17	15, 16	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
18		ltle 7982	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
19	1, 2, 18	syl2anr 288	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
20	19, 16	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
21	9, 17, 20	3jaod 1294	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
22	7, 21	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
23	6, 22	impbid 128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 967   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  ℝcr 7748   < clt 7929   ≤ cle 7930  ℤcz 9187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188

This theorem is referenced by:  znnnlt1  9235  nn0n0n1ge2b  9266  eluzdc  9544  fzdcel  9971  fzn  9973  fzpreddisj  10002  fzp1disj  10011  fzneuz  10032  fznuz  10033  uznfz  10034  fzp1nel  10035  difelfznle  10066  fzodisj  10109  exfzdc  10171  modfzo0difsn  10326  fzfig  10361  iseqf1olemqk  10425  exp3val  10453  facdiv  10647  bcval5  10672  zfz1isolemiso  10748  2zsupmax  11163  2zinfmin  11180  summodclem3  11317  fprodntrivap  11521  alzdvds  11788  fzm1ndvds  11790  fzo0dvdseq  11791  n2dvds1  11845  dvdsbnd  11885  algcvgblem  11977  prmndvdsfaclt  12084  odzdvds  12173  pcprendvds  12218  pcdvdsb  12247  pc2dvds  12257  pcmpt  12269  pockthg  12283  prmunb  12288  1arith  12293  lgsdilem2  13537  uzdcinzz  13639