ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zltnle GIF version

Theorem zltnle 8692
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zltnle ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem zltnle
StepHypRef Expression
1 zre 8650 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
2 zre 8650 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 lenlt 7464 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
41, 2, 3syl2anr 284 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
54biimpd 142 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
65con2d 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
7 ztri3or 8689 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
8 ax-1 5 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
98a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
10 eqcom 2085 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
11 eqle 7479 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵𝐴)
1210, 11sylan2b 281 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝐴)
1312ex 113 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
1413adantl 271 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
151, 14sylan2 280 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
16 pm2.24 584 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
1715, 16syl6 33 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
18 ltle 7475 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵𝐴))
191, 2, 18syl2anr 284 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴𝐵𝐴))
2019, 16syl6 33 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
219, 17, 203jaod 1236 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
227, 21mpd 13 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
236, 22impbid 127 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  w3o 919   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3811  cr 7252   < clt 7425  cle 7426  cz 8646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647
This theorem is referenced by:  znnnlt1  8694  nn0n0n1ge2b  8722  eluzdc  8992  fzdcel  9349  fzn  9351  fzpreddisj  9378  fzp1disj  9387  fzneuz  9408  fznuz  9409  uznfz  9410  fzp1nel  9411  difelfznle  9437  fzodisj  9478  exfzdc  9540  modfzo0difsn  9691  fzfig  9726  facdiv  9981  ibcval5  10006  alzdvds  10635  fzm1ndvds  10637  fzo0dvdseq  10638  n2dvds1  10692  dvdsbnd  10728  algcvgblem  10811  prmndvdsfaclt  10915  uzdcinzz  11041
  Copyright terms: Public domain W3C validator